Question

已知：如图，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．点E是AC边上的一个动点（点E与点A、C不重合），点F是AB边上的一个动点（点F与点A、B不重合），连接EF．
（1）当a、b满足a²+b²-16a-12b+100=0，且c是不等式组

x+2 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整数解时，试说明△ABC的形状；
（2）在（1）的条件得到满足的△ABC中，若EF平分△ABC的周长，设AE=x，y表示△AEF的面积，试写出y关于x的函数关系式；
（3）在（1）的条件得到满足的△ABC中，是否存在线段EF，将△ABC的周长和面积同时平分？若存在，则求出AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把a²+b²-16a-12b+100=0，整理为完全平方形式，得到a、b的值；求出后面的c的值，进而判断三角形的形状
（2）E、F平分周长，可得AE+AF的和，想表示出△AEF的面积，需利用三角函数求出AE边上的高．
（3）在（2）的条件让△AEF的面积等于原三角形的面积达一半即可．

解答：解：（1）∵a²+b²-16a-12b+100=0，
∴（a-8）²+（b-6）²=0．
∴a=8，b=6．
∵

x+2 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

，
解得-4≤x＜11．
∵c是不等式组

x+2 4 ≤x+6 2x+2 3 ＞x-3

的最大整数解，
∴c=10．
∵a²+b²=c²
∴△ABC是直角三角形．

（2）∵EF平分△ABC的周长，
∴AE+AF=12．
∴AF=12-x．（2＜x＜6）
∵sinA=0.8，
∴DF=0.8×（12-2x）．
∴△AEF的面积=

1

2

×AE×DF=-0.4x²+4.8x．（2＜x＜6）

（3）易得△ABC的面积为24，
∴-0.4x²+4.8x=12．
解得 x=6+

6

，或x=6-

6

，
∵2＜x＜6，
∴x=6-

6

．

点评：本题主要应用了勾股定理的逆定理判断出是直角三角形；注意利用三角函数来求所需线段的长度．