【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连CH、CG.
(1)求证:△CBG≌△CDG;
(2)求∠HCG的度数;并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系,说明理由;
(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD,在旋转过程中,四边形AEBD能否为矩形?如果能,请求出点H的坐标;如果不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)45°;HG= HO+BG;(3)(2,0).
【解析】
试题分析:(1)求证全等,观察两个三角形,发现都有直角,而CG为公共边,进而再锁定一条直角边相等即可,因为其为正方形旋转得到,所以边都相等,即结论可证.
(2)上问的结论,本题一般都要使用才能求出结果.所以由三角形全等可以得到对应边、角相等,即BG=DG,∠DCG=∠BCG.同第一问的思路你也容易发现△CDH≌△COH,也有对应边、角相等,即OH=DH,∠OCH=∠DCH.于是∠GCH为四角的和,四角恰好组成直角,所以∠GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.
(3)四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.由上几问知DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即四边形AEBD为矩形.求H点的坐标,可以设其为(x,0),则OH=x,AH=6-x.而BG为AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以Rt△HGA中,三边都可以用含x的表达式表达,那么根据勾股定理可列方程,进而求出x,推得H坐标.
试题解析:(1)∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF
∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°
在Rt△CDG和Rt△CBG中
∴△CDG≌△CBG(HL),
(2)∵△CDG≌△CBG
∴∠DCG=∠BCG,DG=BG
在Rt△CHO和Rt△CHD中
∴△CHO≌△CHD(HL)
∴∠OCH=∠DCH,OH=DH
∴
HG=HD+DG=HO+BG
(3)四边形AEBD可为矩形
如图,
连接BD、DA、AE、EB
因为四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.
因为DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即平行四边形AEBD对角线相等,则其为矩形.
所以当G点为AB中点时,四边形AEBD为矩形.
∵四边形DAEB为矩形
∴AG=EG=BG=DG
∵AB=6
∴AG=BG=3
设H点的坐标为(x,0)
则HO=x
∵OH=DH,BG=DG
∴HD=x,DG=3
在Rt△HGA中
∵HG=x+3,GA=3,HA=6-x
∴(x+3)2=32+(6-x)2
∴x=2
∴H点的坐标为(2,0).
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【题目】2015年6月27日,四川共青图雨城区委在中里镇文化馆举办了第二期青年剪纸培训,参加培训的小王想把一块Rt△ABC废纸片剪去一块矩形BDEF纸片,如图所示,若∠C=30°,AB=10cm,则该矩形BDEF的面积最大为( )
A.4cm3
B.5cm3
C.10cm3
D.25cm3
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【题目】一辆快车从甲地驶往乙地,一辆慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,匀速行驶.设行驶的时间为x(时),两车之间的距离为y(千米),图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系.根据图中信息:
(1)求线段AB所在直线的函数解析式;
(2) 可求得甲乙两地之间的距离为 千米;
(3)已知两车相遇时快车走了180千米,则快车从甲地到达乙地所需时间为 小时.
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【题目】如图,已知BC∥GE,AF∥DE,∠1=56°.
(1)求∠AFG的度数;
(2)若AQ平分∠FAC,交BC于点Q,且∠Q=14°,求∠ACB的度数.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(1,a),点B的坐标为(b,1),点C的坐标为(c,0),其中a、b满足(a+b﹣8)2+|a﹣b+2|=0.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)当△ABC的面积为6时,求点C的坐标;
(3)当4≤S△ABC≤10时,求点C的横坐标c的取值范围.
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【题目】如图,AB是⊙O的一条弦,且AB=4 . 点C,E分别在⊙O上,且OC⊥AB于点D,∠E=30°,连接OA.
(1)求OA的长;
(2)若AF是⊙O的另一条弦,且点O到AF的距离为2 , 直接写出∠BAF的度数.
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【题目】如图,图象(折线OEFPMN)描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系,下列说法中错误的是( )
A. 第3分时汽车的速度是40千米/时
B. 第12分时汽车的速度是0千米/时
C. 从第3分到第6分,汽车行驶了120千米
D. 从第9分到第12分,汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
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