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【题目】如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标为(6,6),将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α(0°<α<90°),得到正方形CDEF,ED交线段AB于点G,ED的延长线交线段OA于点H,连CH、CG.

(1)求证:CBG≌△CDG;

(2)求HCG的度数;并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系,说明理由;

(3)连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD,在旋转过程中,四边形AEBD能否为矩形?如果能,请求出点H的坐标;如果不能,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)45°HG= HO+BG;(3)(2,0).

【解析】

试题分析:(1)求证全等,观察两个三角形,发现都有直角,而CG为公共边,进而再锁定一条直角边相等即可,因为其为正方形旋转得到,所以边都相等,即结论可证.

(2)上问的结论,本题一般都要使用才能求出结果.所以由三角形全等可以得到对应边、角相等,即BG=DG,DCG=BCG.同第一问的思路你也容易发现CDH≌△COH,也有对应边、角相等,即OH=DH,OCH=DCH.于是GCH为四角的和,四角恰好组成直角,所以GCH=90°,且容易得到OH+BG=HG.

(3)四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.由上几问知DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即四边形AEBD为矩形.求H点的坐标,可以设其为(x,0),则OH=x,AH=6-x.而BG为AB的一半,所以DG=BG=AG=3.又由(2),HG=x+3,所以RtHGA中,三边都可以用含x的表达式表达,那么根据勾股定理可列方程,进而求出x,推得H坐标.

试题解析:(1)∵正方形ABCO绕点C旋转得到正方形CDEF

∴CD=CB,∠CDG=∠CBG=90°

在Rt△CDG和Rt△CBG中

∴△CDG≌△CBG(HL),

(2)∵△CDG≌△CBG

∴∠DCG=∠BCG,DG=BG

在Rt△CHO和Rt△CHD中

∴△CHO≌△CHD(HL)

∴∠OCH=∠DCH,OH=DH

HG=HD+DG=HO+BG

(3)四边形AEBD可为矩形

如图,

连接BD、DA、AE、EB

因为四边形AEBD若为矩形,则需先为平行四边形,即要对角线互相平分,合适的点只有G为AB中点的时候.

因为DG=BG,所以此时同时满足DG=AG=EG=BG,即平行四边形AEBD对角线相等,则其为矩形.

所以当G点为AB中点时,四边形AEBD为矩形.

∵四边形DAEB为矩形

∴AG=EG=BG=DG

∵AB=6

∴AG=BG=3

设H点的坐标为(x,0)

则HO=x

∵OH=DH,BG=DG

∴HD=x,DG=3

在Rt△HGA中

∵HG=x+3,GA=3,HA=6-x

∴(x+3)2=32+(6-x)2

∴x=2

∴H点的坐标为(2,0).

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