Question

10．如图，抛物线y=a（x-1）²+c经过点A（m，0）、B（3，-3）点和坐标原点O，C为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及m的值；
（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）若点P是抛物线第三象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A、B、O三点的坐标代入可求得抛物线解析式及m的值；
（2）分OA为边和对角线两种情况，①当OA为边时，根据E在x=1上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②OA为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，可得P（x，-x²+2x），根据勾股定理的逆定理求出直角三角形BOC，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．

解答 解：
（1）∵抛物线过原点O、B（3，-3）和A（m，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a+c}\\{0=a（m-1）^{2}+c}\\{-3=4a+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\\{m=0}\end{array}\right.$（此时A点与O重合，舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=1}\\{m=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）²+1=-x²+2x，m的值为2；

（2）如图1，

①当AO为边时，
∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形．
∴DE∥AO，且DE=AO=2．
∵点E在对称轴x=1上，
∴点D的横坐标为-1或3．
即符合条件的点D有两个，分别记为D₁，D₂．
而当x=-1时，y=-3当x=3时，y=-3
则D₁（-1，-3），D₂（3，-3），
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分．
又点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，即顶点C（1，1），
综上可知符合条件的点D共有三个，分别为（-1，-3），（3，-3），（1，1）；

（3）存在，如图2，

∵B（3，-3），C（1，1）根据勾股定理得：
BO=3$\sqrt{2}$，CO=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{5}$．
∴BO²+CO²=18+2=20=BC²．
∴△BOC是以∠BOC为直角的直角三角形．
假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与Rt△BOC相似．
设P（x，y），由题意知x＜0，y＜0且y=-x²+2x，即PM=x²-2x，
①若△AMP∽△BOC，
则$\frac{AM}{BO}$=$\frac{PM}{OC}$，即$\frac{2-x}{3\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{\sqrt{2}}$，整理可得3x²-5x-2=0，解得x=-$\frac{1}{3}$或x=2（舍去），
当x=-$\frac{1}{3}$时，y=-x²+2x=-$\frac{7}{9}$，即P点坐标为（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7}{9}$）；
②若△PMA∽△BOC，
则$\frac{AM}{OC}$=$\frac{PM}{OB}$，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2x}{3\sqrt{2}}$，整理可得x²+x-6=0，解得x=-3或x=2（舍去）
当x=-3时，y=-15，即P点坐标为（-3，-15）．
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-$\frac{1}{3}$，-$\frac{7}{9}$）或（-3，-15）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点D的位置是解题的关键，在（3）中设出P点坐标，由相似三角形的性质得到关于P点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．