Question

14．企业的工业废料处理有两种方式，一种是运送到垃圾厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的工业废料均为120吨，由于垃圾厂处于调试阶段，处理能力有限，该企业采取两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向垃圾厂运送的工业废料y₁（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6
运送的工业废料y1（吨）	120	60	40	30	24	20

7至12月，该企业自身处理的工业废料y₂（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足y₂=ax²+c（a≠0），其图象如图所示．1至6月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用z₁（元）与月份x之间满足函数关系式：z₁=60x，该企业自身处理每吨工业废料的费用z₂（元）与月份x之间满足函数关系式：z₂=45x-5x²；
7至12月，垃圾厂处理每吨工业废料的费用均为120元，该企业自身处理每吨工业废料的费用均为90元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y₁、y₂与x之间的函数关系式；
（2）求该企业去年哪个月用于工业废料处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于企业的自身设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有工业废料全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的工业废料量都将在去年每月的基础上增加 m%，同时每吨工业废料处理的费用将在去年12月份的基础上增加m%．为鼓励节能降耗，减轻企业负担，国家财政对该企业处理工业废料的费用进行了50%的补助，若该企业每月的工业废料处理费用为12150元，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y₁与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，19），（12，114）点，求出解析式即可；
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加m%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加m%，得出等式120（1+m%）×90×（1+m%）×（1-50%）=12150，进而求出即可．

解答 解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y₁与x之间的函数关系为反比例函数关系：
y₁=$\frac{k}{x}$，将（1，120）代入得：
k=1×120=120，
故y₁=$\frac{120}{x}$（1≤x≤6，且x取整数）；
根据图象可以得出：图象过（7，19），（12，114）点，
代入y₂=ax²+c（a≠0）得：
$\left\{\begin{array}{l}{49a+c=19}\\{144a+c=114}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-30}\end{array}\right.$，
故y₂=x²-30（7≤x≤12，且x取整数）；
（2）当1≤x≤6，且x取整数时：
W=y₁•z₁+（120-y₁）•z₂=$\frac{120}{x}$•60x+（120-$\frac{120}{x}$）•（45x-5x²），
=-600x²+6000x+1800，
∵a=-600＜0，x=-$\frac{b}{2a}$=5，1≤x≤6，
∴当x=5时，W_最大=16800（元），
当7≤x≤12时，且x取整数时，
W=120×（120-y₂）+90y₂=120×（120-x²+30）+90（x²-30），
=-30x²+15300，
∵a=-30＜0，x=-$\frac{b}{2a}$=0，
当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，
∴当x=7时，W_最大=13830（元），
∵16800＞13830
∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是16800元；
（3）由题意得：120（1+m%）×90×[1+m%]×（1-50%）=12150，
整理得：（1+m%）²=$\frac{9}{4}$，
解得：m%=$\frac{3}{2}$+1=2.5（不合题意舍去）或m%=$\frac{3}{2}$-1=0.5，
∴m=50，
答：m的值是50．

点评 此题主要考查了二次函数的应用，利用实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于m%的等式方程是解题关键．