Question

【题目】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是线段AC的中点，连接ED．

（1）求证：ED是⊙O切线．

（2）求线段AD的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由切线长定理知EC＝ED，则∠ECD＝∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE＝DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可；

（2）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．

（1）证明：连接OD，DE，

∵DE是Rt△ADC的中线；

∴ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD；

∵OC＝OD，

∴∠ODC＝∠OCD；

∴∠EDO＝∠EDC+∠ODC＝∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90°；

∴ED⊥OD，

∴ED与⊙O相切．

（2）在Rt△ACB中，

∵AC＝3cm，BC＝4cm，∠ACB＝90°，

∴AB＝5cm；

连接CD，∵BC为直径，

∴∠ADC＝∠BDC＝90°；

∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，

∴Rt△ADC∽Rt△ACB；

∴，

∴．