Question

【题目】如图，AB，AD是⊙O的弦，AO平分.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C，连接CD，BO.延长BO交⊙O于点E，交AD于点F，连接AE，DE.

(1)求证：是⊙O的切线；

(2)若，求的长.

Answer 1

【答案】(1)详见解析；(2)

【解析】

（1）欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠CDO＝∠CBO＝90°，由△COB≌△COD即可解决问题．

（2）先证明∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，在Rt△AEF中利用30度性质以及勾股定理即可解决问题．

解：（1）如图，连接OD．

∵BC为圆O的切线，

∴∠CBO＝90°．

∵AO平分∠BAD，

∴∠OAB＝∠OAF．

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠ABO＝∠OAF＝∠ODA，

∵∠BOC＝∠OAB＋∠OBA，∠DOC＝∠OAD＋∠ODA，

∴∠BOC＝∠DOC，

在△COB和△COD中，

，

∴BOC≌△DOC，

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AE＝DE，

∴，

∴∠DAE＝∠ABO，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠ABO

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE，

∵BE是直径，

∴∠BAE＝90°，

∴∠BAO＝∠OAD＝∠DAE＝∠ABO＝30°，

∴∠AFE＝90°，

在Rt△AFE中，∵AE＝3，∠DAE＝30°，

∴EF＝AE＝，

∴AF＝．