【题目】如图,在平面直角坐标系中,圆心为P(,)的动圆经过点A(1,2)且与轴相切于点B.
(1)当=2是,求⊙P的半径;
(2)求关于的函数解析式,在图②中画出此函数图像;
(3)请类比圆的定义(圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合),给(2)中所得函数图像进行定义:此函数图像可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合;
(4)当⊙P的半径为1时,若⊙P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(,)在点C的右侧,请利用图②,则cos∠APD= .
【答案】(1)圆P的半径为1.25 ;(2)y= (x﹣1)2+1,图象详见解析;(3)点A, x轴;(4)cos∠APD= = ﹣2+.
【解析】
(1)根据两点间距离公式列式计算即可;
(2)同(1)列出式子并整理,可得y=(x﹣1)2+1,然后描点画图即可;
(3)由(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合;
(4)连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,设PE=a,用a表示出D点坐标,代入到抛物线解析式求出a的值,
解:(1)由x=2,得到P(2,y),
连接AP,PB,
∵圆P与x轴相切,
∴PB⊥x轴,即PB=y,
由AP=PB,得到 ,
解得:y=1.25 ,则圆P的半径为1.25 ;
(2)同(1),由AP=PB,得到(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2,
整理得:y= (x﹣1)2+1,即图象为开口向上的抛物线,
画出函数图象,如图②所示;
(3)由(x﹣1)2+(y﹣2)2=y2可知此函数图像可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点的集合;
(4)连接CD,连接AP并延长,交x轴于点F,
设PE=a,则有EF=a+1,ED= ,
∴D坐标为( ,a+1),
代入抛物线解析式得:a+1= 0.25(1﹣a2)+1,
解得:a=﹣2+或a=﹣2﹣ (舍去),即PE=﹣2+ ,
在Rt△PED中,PE=﹣2+,PD=1,
则cos∠APD=﹣2+.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x与反比例函数y=的图象交于A,B两点(点A在点B左侧),已知A点的纵坐标是2:
(1)求反比例函数的表达式;
(2)将直线l1:y=﹣x向上平移后的直线l2与反比例函数y=在第二象限内交于点C,如果△ABC的面积为30,求平移后的直线l2的函数表达式.
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【题目】在一条笔直的公路上有A、B两地,甲骑自行车从A地到B地;乙骑电动车从B地到A地,到达A地后立即按原路返回,如图是甲、乙两人离B地的距离y(km)与行驶时x(h)之间的函数图象,根据图象解答以下问题:
(1)写出A、B两地之间的距离;
(2)直接写出y甲、y乙与x之间的函数关系式,请求出点M的坐标,并解释该点坐标所表示的实际意义;
(3)若两人之间保持的距离不超过3km时,能够用无线对讲机保持联系,请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围.
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【题目】如图,AB,AD是⊙O的弦,AO平分.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C,连接CD,BO.延长BO交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE,DE.
(1)求证:是⊙O的切线;
(2)若,求的长.
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【题目】我市某中学为了解本校学生对“扫黑除恶专项斗争”的了解程度,在全校范围内随机抽查了部分学生,将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图.
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)在本次抽样调查中,共抽取了 名学生.
(2)在扇形统计图中,“不了解”部分所对应的圆心角的度数为 .
(3)补全条形统计图.
(4)若该校有2000名学生,根据调查结果,对“扫黑除恶专项斗争”“了解一点”的学生人数约为多少人?
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【题目】已知x1,x2是一元二次方程(a﹣6)x2+2ax+a=0的两个实数根.
(1)是否存在实数a,使﹣x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;
(2)求使(x1+1)(x2+1)为正整数的实数a的整数值.
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【题目】如图1,某超市从一楼到二楼有一自动扶梯,图2是侧面示意图.已知自动扶梯AB的坡度为1:2.4,AB的长度是13米,MN是二楼楼顶,MN∥PQ,C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点,BC⊥MN,在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°,求二楼的层高BC约为多少米?( sin42°≈0.7,tan42°≈0.9)
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+1的图象交x轴于A(﹣2,0),B(1,0)两点,交y轴于点C,点D是第四象限内抛物线上的一个动点,过点D作DE∥y轴交x轴于点E,线段CB的延长线交DE于点M,连接OM,BD交于点N.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当S△OEM=S△DBE时,求点D的坐标及sin∠DAE的值;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴上一个动点,求的最小值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,且AB=10,弦MN的长为8,若弦MN的两端在圆周上滑动,始终与AB相交.记点A,B到MN的距离分别为h1,h2,则|h1﹣h2|等于_____.
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