Question

如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，D，E分别为AC，AB上的点，∠DBC=60°，∠ECB=50°，则∠BDE=

 

．

Answer 1

考点：等腰三角形的性质

专题：

分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC=∠ACB，过点B作BF=BC，连接EF，然后求出∠BEC=∠ECB=50°，根据等角对等边可得BC=BE，再求出∠CBF=20°，然后求出∠EBF=60°，判断出△BEF是等边三角形，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠EFD=40°，再求出∠EDF=70°，然后根据∠BDE=∠EDF-∠BDF代入数据计算即可得解．

解答：解：∵AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠ACB=

1

2

（180°-∠A）=

1

2

（180°-20°）=80°，
过点B作BF=BC，连接EF，
∵∠ECB=50°，
∴∠BEC=180°-80°-50°=50°，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BC=BE，
又∵∠CBF=180°-2∠ACB=180°-2×80°=20°，
∴∠EBF=∠ABC-∠CBF=80°-20°=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠EFB=60°，BF=EF，
∴∠EFD=180°-∠EFB-∠CFB=180°-60°-80°=40°，
∵∠DBC=60°，
∴∠DBF=∠DBC-∠CBF=60°-20°=40°，
∠BDC=180°-∠DBC-∠ACB=180°-60°-80°=40°，
∴∠DBF=∠BDC，
∴BF=DF，
∴EF=DF，
∴∠EDF=

1

2

（180°-∠EFD）=

1

2

（180°-40°）=70°，
∴∠BDE=∠EDF-∠BDF=70°-40°=30°．
故答案为：30°．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等边对等角和等角对等边的性质，三角形的内角和定理，作出辅助线构造成等边三角形是解题的关键，难点在于根据角的度数相等得到相等的角．