Question

如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是BC、AB上的点，且CD=BE，以AD为边作等边△AFD
（1）判断△ACD与△CBE的关系并证明；
（2）判断EF与DC的关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）等边三角形的性质就可以得出△ACD≌△CBE而得出结论．
（2）连接BF，由等式的性质就可以求出∠BAF=∠CAD，进而证明△BAF≌△CAD就可以得出BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°就可以得出结论．

解答：解：（1）△ACD≌△CBE．
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°．
在△ACD和△CBE中

AC=BC ∠ACB=∠B CD=BE

，
∴△ACD≌△CBE（SAS）．
（2）EF=DC，EF∥DC．
连接BF，
∵△AFD是等边三角形，
∴AF=AD，∠DAF=60°．
∴∠DAF=∠CAB，
∴∠DAF-∠BAD=∠CAB-∠BAD，
∴∠BAF=∠CAD．
在△BAF和△CAD中

AB=AC ∠BAF=∠CAD AF=AD

，
∴△BAF≌△CAD（SAS），
∴BF=CD，∠ABF=∠ACD=60°．
∵BE=CD，
∴BF=BE．
∴△BFE是等边三角形，
∴EF=BE，∠BEF=60°，
∴EF=DC，∠BEF=∠ABC，
∴EF∥BC，即EF∥CD．

点评：本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．