Question

设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．
（1）观察与发现：三棱锥中，V₃=

 

，F₃=

 

，E₃=

 

；
五棱锥中，V₅=

 

，F₅=

 

，E₅=

 

；
（2）猜想：①十棱锥中，V₁₀=

 

，F₁₀=

 

，E₁₀=

 

；
②n棱锥中，V_n=

 

，F_n=

 

，E_n=

 

；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：

 

；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=

 

；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：欧拉公式

专题：

分析：（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；
（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可；
②根据n棱锥的特征的特征填写即可；
（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系；
②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；
（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．

解答：解：（1）观察与发现：三棱锥中，V₃=4，F₃=4，E₃=6；
五棱锥中，V₅=5，F₅=5，E₅=8；
（2）猜想：①十棱锥中，V₁₀=11，F₁₀=11，E₁₀=20；
②n棱锥中，V_n=n+1，F_n=n+1，E_n=2n；（用含有n的式子表示）
（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V=F；
②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E=V+F-E=2；
（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F-E=2．
故答案为：4，4，6；5，5，8；11，11，20；n+1，n+1，2n；V=F，V+F-E=2．

点评：考查了欧拉公式，本题由几个特殊多面体，观察它们的顶点数、面数和棱数，归纳出一般结论，得到欧拉公式，着重考查了归纳推理和多面体的性质等知识，属于基础题．