Question

12．如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC＞AD．
下面的证法供你参考：把△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，连接ED，则有△ACD≌△ABE，DC=EB，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE．在△DBE中，BD+EB＞DE，即：BD+DC＞AD
实践探索：
（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：
如图3，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合）．求证：BD+DC＞$\sqrt{2}$AD．
（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC边BC所在直线上时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？直接写出结论．
创新应用：
（3）已知：如图4，等腰△ABC中，AB=AC，且∠BAC=α（α为钝角），D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC=180°，BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．

Answer 1

分析 （1）把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED，则易证△ACD≌△ABE，根据勾股定理可以的到DE=$\sqrt{2}$AD，在△DBE中利用两边之和大于第三边即可得到；
（2）把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，连接ED，则易证△ACD≌△ABE，△AED是等腰直角三角形，则DE=AD，在△BED中，利用三角形三边关系定理即可证得；
（3）把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE，则有△ACD≌△ABE，则易证E、B、D三点共线，在等腰△ADE中，利用两边之和大于第三边即可得到．

解答 （1）证明：如图1，

把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABE，
则有△ACD≌△ABE，DC=EB
∵AD=AE，∠DAE=90°
∴△ADE是等腰直角三角形
∴DE=$\sqrt{2}$AD
在△DBE中，BD+EB＞DE，
即：BD+DC＞$\sqrt{2}$AD；
（2）如图2，

把△ABD旋转，使AB与AC重合，得到△ACD′，
则BD=CD′，
在△CDD′中，CD+CD′＞DD′，
即：BD+CD＞DD′，
∵△ADD′是钝角三角形，则DD′＞$\sqrt{2}$AD，
当D运动到B的位置时，DD′=BC=AD．
∴BD+DC≥$\sqrt{2}$AD；
（3）猜想1：BD+DC＜2AD
证明：如图3，

把△ACD绕点A顺时针旋转α，得到△ABE
则有△ACD≌△ABE，DC=EB，∠ACD=∠ABE
∵∠BAC+∠BDC=180°
∴∠ABD+∠ACD=180°
∴∠ABD+∠ABE=180°
即：E、B、D三点共线．
∵AD=AE，
∴在△ADE中，AE+AD＞ED，
即BD+DC＜2AD．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质以及勾股定理，通过旋转构造全等的三角形，把所研究的三条线段转移到同一个三角形中，是解题的关键．