Question

8．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙0经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°，
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求∠ADE的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠AED=90°，则OD⊥AB，再利用平行四边形的性质得CD∥AB，所以OD⊥CD，于是根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BE，通过圆周角定理将∠ADE的正弦值转化为∠ABE的正弦值．

解答 （1）证明：连结OD，如图，
∵∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∴OD⊥AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BE，
∵AB为直径，
∴∠AEB=90°，
根据圆周角定理：∠ADE=∠ABE，
∴sin∠ADE=sin∠ABE=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{5}{6}$．
即∠DAE的正弦值是$\frac{5}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了平行四边形的性质．