Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

Answer 1

解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴抛物线的解析式为。 （2）存在。 由得D点坐标为（1，4），对称轴为x=1， ①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)， 根据勾股定理，得，即y=4-x。 又P点(x，y)在抛物线上， ∴，即， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以，， 即点P的坐标为； ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）， ∴符合条件的点P坐标为或（2，3）。
（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4）， 根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=， ∴， ∴∠BCD=90°， 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F， 在Rt△DCF中，∵CF=DF=1， ∴∠CDF=45°， 由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC， ∴四边形BCDM为直角梯形， 由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时， 顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况； 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。