【题目】如图,已知抛物线m:y=ax2﹣6ax+c(a>0)的顶点A在x轴上,并过点B(0,1),直线n:y=﹣x+与x轴交于点D,与抛物线m的对称轴l交于点F,过B点的直线BE与直线n相交于点E(﹣7,7).
(1)求抛物线m的解析式;
(2)P是l上的一个动点,若以B,E,P为顶点的三角形的周长最小,求点P的坐标;
(3)抛物线m上是否存在一动点Q,使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2﹣x+1;(2)点P坐标为(3,);(3)点Q坐标为(9,4)或(15,16).
【解析】
试题分析:(1)抛物线顶点在x轴上则可得出顶点纵坐标为0,将解析式进行配方就可以求出a的值,继而得出函数解析式;(2)作出B点关于l的对称点B′,连接EB′交l于点P,如图所示,,三角形BEP为顶点的三角形的周长最小,再求出直线B′E的解析式,进而得出P点坐标;(3)先求出直线FD的解析式,结合以线段FQ为直径的圆恰好经过点D这个条件,明确∠FDG=90°,得出直线DG解析式的k值与直线FD解析式的k值乘积为﹣1,利用D点坐标求出直线DG解析式,将点Q坐标用抛物线解析式表示后代入DG直线解析式可求出点Q坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2﹣6ax+c(a>0)的顶点A在x轴上
∴配方得y=a(x﹣3)2﹣9a+1,则有﹣9a+1=0,解得a=
∴A点坐标为(3,0),抛物线m的解析式为y=x2﹣x+1;
(2)∵点B关于对称轴直线x=3的对称点B′为(6,1)
∴连接EB′交l于点P,如图所示
设直线EB′的解析式为y=kx+b,把(﹣7,7)(6,1)代入得
解得,
则函数解析式为y=﹣x+
把x=3代入解得y=,
∴点P坐标为(3,);
(3)∵y=﹣x+与x轴交于点D,
∴点D坐标为(7,0),
∵y=﹣x+与抛物线m的对称轴l交于点F,
∴点F坐标为(3,2),
求得FD的直线解析式为y=﹣x+,若以FQ为直径的圆经过点D,可得∠FDQ=90°,则DQ的直线解析式的k值为2,
设DQ的直线解析式为y=2x+b,把(7,0)代入解得b=﹣14,则DQ的直线解析式为y=2x﹣14,
设点Q的坐标为(a,),把点Q代入y=2x﹣14得
=2a﹣14/p>
解得a1=9,a2=15.
∴点Q坐标为(9,4)或(15,16).
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【题目】在数轴上,3和-5所对应的点之间的距离是________,到3和—5所对应的两点的距离相等的点所对应的有理数是_____ ____,它的倒数是___ __.
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【题目】
某商店能过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y(元)与调整前的单价x(元)满足一次函数关系,如下表:
第1个 | 第2个 | 第3个 | 第4个 | … | 第n个 | |
调整前单价x(元) | x1 | x2=6 | x3=72 | x4 | … | xn |
调整后单价x(元) | y1 | y2=4 | y3=59 | y4 | … | yn |
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.
(1)求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围;
(2)某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱?
(3)这n个玩具调整前、后的平均单价分别为,,猜想与的关系式,并写出推导出过.
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【题目】
如图,抛物线L: (常数t>0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MP⊥x轴,交双曲线于点P,且OA·MP=12.
(1)求k值;
(2)当t=1时,求AB长,并求直线MP与L对称轴之间的距离;
(3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;
(4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4≤x0≤6,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.
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【题目】一名守门员练习沿直线折返跑,从球门线出发,向前记做正数,返回记做负数,他的记录如下(单位:m):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
(1)在这次往返跑中,守门员一共跑了多少米?
(2)请你借助数轴知识进行分析,回答守门员离开球门线最远是多少米?
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【题目】完成下面推理过程:
如图,已知∠1=∠2,∠B=∠C,可推得AB∥CD.理由如下:
∵∠1=∠2(已知),
且∠1=∠CGD( ),
∴∠2=∠CGD(等量代换).
∴CE∥BF( ).
∴∠ =∠C( ).
又∵∠B=∠C(已知),
∴∠ =∠B(等量代换).
∴AB∥CD( ).
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 三条边相等的四边形是菱形 D. 三个角是直角的四边形是矩形
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