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【题目】

如图,抛物线L: (常数t>0)与x轴从左到右的交点为BA,过线段OA的中点MMPx轴,交双曲线于点P,且OA·MP=12.

1)求k值;

2)当t=1时,求AB长,并求直线MPL对称轴之间的距离;

3)把L在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标;

4)设L与双曲线有个交点的横坐标为x0,且满足4x06,通过L位置随t变化的过程,直接写出t的取值范围.

【答案】(1)6;(2);(3)当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t>4时,L与MP的交点()就是G的最高点.(4)(4).

【解析】

试题分析:(1)设设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,即可得xy=6,即k=6;(2)当t=1时,令y=0,0=,解得.即可得AB=4,求得抛物线的对称轴,根据点M的坐标即可得直线MP与L对称轴之间的距离;(3)由抛物线的解析式可得A(t,0),B(t-4,0),即可得抛物线的对称轴为x=t-2,又因MP为直线x=,当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t>4时,L与MP的交点()就是G的最高点.(4)对双曲线,当4x06时,1y,即L与双曲线C(4,),D(6,1)之间的一段有个交点.=,解得由1=,解得;随着t的逐渐增大,L的位置随着点A(t,0)向右平移,如图3所示.当t=5时,L右侧过点C;当时,L右侧过点D;即.当时,L右侧离开了点D,而左侧未到点C,即L与该段无交点,舍去.当t=7时,L左侧过点C;当时,L左侧过点D;即.

试题解析:(1)设点P(x,y),则MP=y,

由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,

,即xy=6,

k=xy=6.

(2)当t=1时,令y=0,0=.

由B在A的左边,得B(-3,0),A(1,0),AB=4.

L的对称轴为x=-1,而M(,0),

MP与L对称轴的距离为.

(3)A(t,0),B(t-4,0),

L的对称轴为x=t-2,

又MP为x=

当t-2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;

当t>4时,L与MP的交点()就是G的最高点.

(4).

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①当t=1时,甲小球到原点的距离=_______乙小球到原点的距离=_______t=3时,甲小球到原点的距离=_______乙小球到原点的距离=_______

②试探究:甲,乙两小球到原点的距离可能相等吗?若不能,请说明理由。若能,请求出甲,乙两小球到原点的距离相等时经历的时间. 

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