【题目】如图1,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B.C分别在边AD、AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点H.
①探究BD与CF之间的位置关系,并说明理由;
②当AB= ,AD= +1时,求线段DH的长.
【答案】
(1)
解:如图2中,BD=CF成立.
理由:由旋转得:AC=AB,∠CAF=∠BAD=θ;AF=AD,
在△ABD和△ACF中, ,
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF
(2)
①证明:如图3中,
由(1)得,△ABD≌△ACF,
∴∠HFN=∠ADN,
∵∠HNF=∠AND,∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF=90°
∴∠NHF=90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②如图4中,连接DF,延长AB,与DF交于点M.
∵四边形ADEF是正方形,
∴∠MDA=45°,
∵∠MAD=45°
∴∠MAD=∠MDA,∠AMD=90°,
∴AM=DM,
∵AD= +1,
在△MAD中,AM2+DM2=AD2,
∴AM=DM= ,
∴MB=AM﹣AB= ﹣ = ,
在Rt△BMD中,BM2+DM2=BD2,
∴BD= =2.
在Rt△ADF中,AD= +1,
∴DF= AD= + ,
由②知,HD⊥HF,
∴∠DHF=∠DMB=90°,
∵∠BDM=∠FDH,
∴△BDM∽△FDH,
∴ ,
∴DH= = =2+
【解析】(1)结论:BD=CF.只要证明△ABD≌△ACF即可.(2)①在利用“8字型”证明∠FHN=∠DAN=90°,即可解决问题.②如图4中,连接DF,延长AB,与DF交于点M.在Rt△ADM中,求出BM、DM,再利用勾股定理即可解决问题.
【考点精析】掌握勾股定理的概念是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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【题目】如图,点A在以BC为直径的⊙O内,且AB=AC,以点A为圆心,AC长为半径作弧,得到扇形ABC,剪下扇形ABC围成一个圆锥(AB和AC重合),若∠BAC=120°,BC=2 ,则这个圆锥底面圆的半径是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】暑假期间,某学校计划用彩色的地面砖铺设教学楼门前一块矩形操场ABCD的地面.已知这个矩形操场地面的长为100m,宽为80m,图案设计如图所示:操场的四角为小正方形,阴影部分为四个矩形,四个矩形的宽都为小正方形的边长,在实际铺设的过程总,阴影部分铺红色地面砖,其余部分铺灰色地面砖.
(1)如果操场上铺灰色地面砖的面积是铺红色地面砖面积的4倍,那么操场四角的每个小正方形边长是多少米?
(2)如果灰色地面砖的价格为每平方米30元,红色地面砖的价格为每平方米20元,学校现有15万元资金,问这些资金是否能购买所需的全部地面砖?如果能购买所学的全部地面砖,则剩余资金是多少元?如果不能购买所需的全部地面砖,教育局还应该至少给学校解决多少资金?
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【题目】如图,在边长为1的正方形网格中,△AOB的顶点均在格点上,点A、B的坐标分别是A(3,2)、B(1,3).将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1 .
(1)画出旋转后的△A1OB1 , 点A1的坐标为;
(2)在旋转过程中,点B经过的路径为 ,求 的长.
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【题目】如图:二次函数y=ax2+bx+c的图像所示,下列结论中:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2 , 且x1≠x2 , 则x1+x2=2,正确的个数为( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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【题目】如图,某电信部门计划修建一条连接B、C两地的电缆.测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30°、45°,在B地测得C地的仰角为60°.已知C地比A地高200m,电缆BC至少长多少米(精确到1m)?
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【题目】如图,已知点A、B、C、D均在以BC为直径的圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10,则图中阴影部分的面积为 .
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,以点A为圆心,BC长为半径画弧交AB于点D,分别以点A、D为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点E,连接AE,DE,则∠EAD的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
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