Question

【题目】暑假期间，某学校计划用彩色的地面砖铺设教学楼门前一块矩形操场ABCD的地面．已知这个矩形操场地面的长为100m，宽为80m，图案设计如图所示：操场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，在实际铺设的过程总，阴影部分铺红色地面砖，其余部分铺灰色地面砖．
（1）如果操场上铺灰色地面砖的面积是铺红色地面砖面积的4倍，那么操场四角的每个小正方形边长是多少米？
（2）如果灰色地面砖的价格为每平方米30元，红色地面砖的价格为每平方米20元，学校现有15万元资金，问这些资金是否能购买所需的全部地面砖？如果能购买所学的全部地面砖，则剩余资金是多少元？如果不能购买所需的全部地面砖，教育局还应该至少给学校解决多少资金？

Answer 1

【答案】
（1）解：设操场四角的每个小正方形边长是x米，根据题意，

得：4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）=4[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]，

整理，得：x2﹣45x+200=0，

解得：x1=5，x2=40（舍去），

故操场四角的每个小正方形边长是5米

（2）解：设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，

则，y=30×[4x2+（100﹣2x）（80﹣2x）]+20×[2x（100﹣2x）+2x（80﹣2x）]

即：y=80x2﹣3600x+240000

配方得，y=80（x﹣22.5）2+199500

当x=22.5时，y的值最小，最小值为19.95万元＞15万元，

故这些资金不能购买所需的全部地面砖，教育局还应该至少给学校解决19.95﹣15=4.95万元资金

【解析】（1）设小正方形的边长为x米，表示出里边大矩形的长为（100﹣2x）米，宽为（80﹣2x）米，利用灰色部分的面积=4个小正方形的面积+里边大矩形的面积，红色部分面积=上下两个矩形面积+左右两个矩形面积，根据灰色地面砖的面积是铺红色地面砖面积的4倍列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为小正方形的边长；（2）设铺矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，根据等量关系“总费用=铺白色地面砖的费用+铺绿色地面砖的费用”列出y关于x的函数，求得最小值，与15万元比较可得是否够用．