Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴只有一个交点A（﹣2，0），与y轴交于点B（0，4）．

（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）过点B作平行于x轴的直线交抛物线与点C．
①若点M在抛物线的AB段（不含A、B两点）上，求四边形BMAC面积最大时，点M的坐标；
②在平面直角坐标系内是否存在点P，使以P、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由已知可设抛物线对应函数的解析式为：y=a（x+2）2（a≠0），

∵抛物线与y轴交于点B（0，4）

∴4=a（0+2）2

解得：a=1

∴抛物线对应的解析式为：y=（x+2）2

（2）

解：①如图1中，设点M的坐标为（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，

则N点坐标（m，0）．

∵A、B、C是定点，

∴若要四边形BMAC的面积最大，

只要BMA的面积最大即可．

过M做MN⊥x轴于点N，则

S△AOB= OAOB= ×2×4=4

S△AMN= ANMN= ×[m﹣（﹣2）]×（m+2）2= （m+2）3

S梯形ONMB= ON（MN+OB）

= ×（﹣m）×[（m+2）2+4]

=﹣ （m3+4m2+8m）

∴S△AMB=S△AOB﹣S△AMN﹣S梯形ONMB

=4﹣ （m+2）3﹣[﹣ （m3+4m2+8m）]

=﹣m2﹣2m，

当m=﹣1时，S△AMB最大，

∵（﹣1+2）2=1

∴此时点M的坐标为（﹣1，1）．

②存在．如图2中，

∵四边形ABP1C是平行四边形，

∴FC=FB，AF=FP1，

∵B（0，4），C（﹣4，4），

∴F（﹣2，4），

设P1（x，y），则有 =﹣2， =4，

∴x=﹣2，y=8，

∴P1（﹣2，8），同法可得P2（﹣6，0），P3（2，0）．

所有满足条件的点P的坐标是（2，0）、（﹣6，0）、（﹣2，8）

【解析】（1）由已知可设抛物线对应函数的解析式为：y=a（x+2）2（a≠0），把点B坐标代入求出a即可．（2）①）①如图1中，设点M的坐标为（m，（m+2）2），其中﹣2＜m＜0，则N点坐标（m，0）．若要四边形BMAC的面积最大，只要BMA的面积最大即可，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．（3）有三种情形，先画出图形，利用中点坐标公式一一求解即可．