Question

如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点为A（n，2）、B（2，-4）．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．

Answer 1

解：（1）∵A（n，2）、B（2，-4）在反比例函数图象上，
∴，解得，即A（-4，2），B（2，-4），
∵A（-4，2），B（2，-4）在一次函数图象上，
∴，解得，
∴两函数解析式分别为y=-，y=-x-2；

（2）由（1）得一次函数y=-x-2，
令x=0，解得y=-2，
∴一次函数与y轴交点为C（0，-2），
∴OC=2，
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC
=OC•|y_{点A横坐标}|+OC•|y_{点B横坐标}|
=×2×4+×2×2=6．
分析：（1）由A和B都在反比例函数图象上，故把两点坐标代入到反比例解析式中，列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A的坐标及反比例函数解析式，把确定出的A坐标及B的坐标代入到一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；
（2）令一次函数解析式中x为0，求出此时y的值，即可得到一次函数与y轴交点C的坐标，得到OC的长，三角形AOB的面积分为三角形AOC及三角形BOC面积之和，且这两三角形底都为OC，高分别为A和B的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标的意义，一次函数与坐标轴交点的求法，以及三角形的面积公式，利用了数形结合的思想．第一问利用的方法为待定系数法，即根据题意把两交点坐标分别代入两函数解析式中，得到方程组，求出方程组的解确定出函数解析式中的字母常数，从而确定出函数解析式，第二问要求学生借助图形，找出点坐标与三角形边长及边上高的关系，进而把所求三角形分为两三角形来求面积．