【题目】如图,已知抛物线的顶点坐标为E(1,0),与轴的交点坐标为(0,1).
(1)求该抛物线的函数关系式.
(2)A、B是轴上两个动点,且A、B间的距离为AB=4,A在B的左边,过A作AD⊥轴交抛物线于D,
过B作BC⊥轴交抛物线于C. 设A点的坐标为(,0),四边形ABCD的面积为S.
① 求S与之间的函数关系式.
② 求四边形ABCD的最小面积,此时四边形ABCD是什么四边形?
③ 当四边形ABCD面积最小时,在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△PAE的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及这时△PAE的周长;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)①②四边形ABCD是正方形③2+
【解析】试题分析:(1)先设抛物线的顶点式,然后把点(0,1)代入抛物线,可以求出抛物线的解析式.(2)①因为点A的坐标为(t,0),AB=4,所以点B的坐标为(t+4,0),分别把A,B两点的坐标代入抛物线得到C,D两点的坐标,得到线段AD和BC的长,可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面积.②根据①得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质,可以求出面积最小时t的值,并确定此时四边形的形状.③当四边形ABCD的面积最小时,ABCD是正方形,点A点C关于BD对称,根据两点之间线段最短,得到CE与BD的交点就是点P,然后求出△PAE的周长.
试题解析: (1)∵ 抛物线顶点为F(1,0)
∴
∵ 该抛线经过点E(0,1)
∴
∴
∴ ,
即所求抛物线的函数关系式为.
(2)① ∵ A点的坐标为(,0), AB=4,且点C、D在抛物线上,
∴ B、C、D点的坐标分别为(+4,0),(+4, (+3)2),(,(-1)2).
∴
② .
∴ 当=-1时,四边形ABCD的最小面积为16,
此时AD=BC=AB=DC=4,四边形ABCD是正方形.
③ 当四边形ABCD的面积最小时,四边形ABCD是正方形,其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小.
∵AE=4(定值),
∴要使ΔPAE的周长最小,只需PA+PE最小.
∵此时四边形BCD是正方形,点A与点C关于BD所在直线对称,
∴由几何知识可知,P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.
∵点E、B、C、D的坐标分别为(1,0)(3,0)(3,4)(-1,4)
∴直线BD,EC的函数关系式分别为:y=-x+3, y=2x-2.
∴ P(,)
在Rt△CEB中,CE=,
∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+
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【题目】下列命题中,真命题是( )
A. 对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B. 有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C. 菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D. 菱形的对角线相等
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【题目】已知二次函数y=x2+bx+c的图象与直线y=x+1相交于点A(-1,m)和点B(n,5).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这两个函数的大致图象;
(3)结合图象直接写出x2+bx+c>x+2时x的取值范围.
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【题目】如图,在等边△ABC内有一点D,AD=5,BD=6,CD=4,将△ABD绕A点逆时针旋转,使AB与AC重合,点D旋转至点E,则∠CDE的正切值为 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛,两校参赛人数相同.比赛结束后,发现参赛学生成绩分别为7分、8分、9分、10分(满分为10分).
依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表.
(1)在图1中,“7分”所在扇形的圆心角等于 度;将图2的统计图补充完整;
(2)经计算,乙校的平均分是8.3分,中位数是8分,请写出甲校的平均分、中位数,并从平均分和中位数的角度分析哪所学校的成绩较好;
(3)如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛,为便于管理,决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手,请你分析,应选哪所学校合适?
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【题目】森林公园的门票价格规定如下表:
购票人数 | 1~50人 | 51~100人 | 100人以上 |
每人门票价 | 13元 | 11元 | 9元 |
某校初一(5)(6)两个班共104人去游森林公园,其中(5)班人数较少,不到50人;(6)班人数较多,(6)班人数多于50人且少于100人.经估算,如果两班都是以班为单位分别购票则一共应付1240元;
(1)求这两个班各有多少名学生?
(2)团体购票与单独购票相比较,两个班各节约了多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为( )
A. a=b B. 2a-b=1 C. 2a+b=-1 D. 2a+b=1
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