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【题目】如图,已知抛物线的顶点坐标为E1,0),与轴的交点坐标为(0,1.

1)求该抛物线的函数关系式.

2AB轴上两个动点,且AB间的距离为AB=4AB的左边,过AAD⊥轴交抛物线于D

BBC⊥轴交抛物线于C. A点的坐标为(,0),四边形ABCD的面积为S.

S之间的函数关系式.

求四边形ABCD的最小面积,此时四边形ABCD是什么四边形?

当四边形ABCD面积最小时,在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△PAE的周长最小,若存在,请求出点P的坐标及这时△PAE的周长;若不存在,说明理由.

【答案】1(2)①②四边形ABCD是正方形③2+

【解析】试题分析:(1)先设抛物线的顶点式,然后把点(0,1)代入抛物线,可以求出抛物线的解析式.(2)因为点A的坐标为(t,0),AB=4,所以点B的坐标为(t+4,0),分别把A,B两点的坐标代入抛物线得到C,D两点的坐标,得到线段ADBC的长,可以用含t的式子表示直角梯形ABCD的面积.根据得到S关于t的二次函数,利用二次函数的性质,可以求出面积最小时t的值,并确定此时四边形的形状.当四边形ABCD的面积最小时,ABCD是正方形,点AC关于BD对称,根据两点之间线段最短,得到CEBD的交点就是点P,然后求出PAE的周长.

试题解析: (1) 抛物线顶点为F(1,0)

该抛线经过点E(0,1)

即所求抛物线的函数关系式为.

(2) A点的坐标为(,0), AB=4,且点CD在抛物线上,

BCD点的坐标分别为(+4,0),(+4, (+3)2),(,(-1)2).

.

=-1时,四边形ABCD的最小面积为16,

此时AD=BC=AB=DC=4,四边形ABCD是正方形.

当四边形ABCD的面积最小时,四边形ABCD是正方形,其对角线BD上存在点P, 使得ΔPAE的周长最小.

AE=4(定值),

要使ΔPAE的周长最小,只需PA+PE最小.

此时四边形BCD是正方形,点A与点C关于BD所在直线对称,

由几何知识可知,P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.

E、B、C、D的坐标分别为(1,0)(3,0)(3,4)(-1,4)

直线BD,EC的函数关系式分别为:y=-x+3, y=2x-2.

P(,)

在RtCEB中,CE=,

∴△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+

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