Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是y轴正半轴上的点，OD=3，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，
①试说明EF是圆的直径；
②判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B、C三点坐标代入抛物线方程，即可求得a、b、c的值；
（2）①由B、C、D三点的坐标即可得出∠CBO=∠OBD=45°，从而得出∠EBF=90°，即可得出EF为圆的直径；
②利用同圆内，同弧所对的圆周角相等，可以找到∠AEF=∠AFE=45°，从而得出△AEF是等腰直角三角形．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-3），
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=a-b+c}\\{0=9a+3b+c}\\{-3=c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）按照题意画出图形，如下图，

①∵B点坐标（3，0）、C点坐标（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠CBO=45°，
又∵D是y轴正半轴上的点，OD=3，
∴△BOD为等腰直接三角形，
∴∠OBD=45°，
∠CBD=∠CBO+∠OBD=45°+45°=90°，
即∠FBE=90°，
∴EF是圆的直径．
②∵∠CBO=∠OBD=45°，∠AFE=∠OBD，∠AEF=∠CBO（在同圆中，同弧所对的圆周角相等），
∴∠AEF=∠AFE=45°，
∴∠FAE=90°，AE=AF，
∴△AEF是等腰直角三角形．

点评 本题考查了二次函数解析式的求取、圆周角定理、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是注意数形结合思想的运用．