Question

△ABC中，∠C=80°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PE=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点P在线段AB上，如图l，且∠α=50°，则∠1+∠2=

 

°
（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：

 

；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α、∠l、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图4，则∠α、∠l、∠2之间的关系为：

 

．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质,多边形内角与外角

专题：探究型

分析：（1）根据三角形外角性质得∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，再根据四边形内角和为360°得∠C+∠DPE+∠CDP+∠CEP=360°，则∠C+180°-∠1+180°-∠2+α=360°，所以∠1+∠2=∠C+α，然后把∠C和α的度数代入计算即可；
（2）由（1）可得到∠1+∠2=80°+α；
（3）根据三角形外角性质得∠1=∠C+∠3，∠3=∠2+α，则∠1=∠C+∠2+α，整理为∠1-∠2=80°+α；
（4）根据三角形外角性质得∠1=α+∠3，∠2=∠C+∠4，利用∠3=∠4和等式性质得到∠1-α=∠2-∠C，整理为∠2-∠1=∠C-α=80°-α．

解答：解：（1）∵∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，
而∠C+∠DPE+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠C+180°-∠1+180°-∠2+α=360°，
∴∠1+∠2=∠C+α=80°+50°=130°；
（2）∠α、∠1、∠2之间的关系为∠1+∠2=80°+α；
（3）∠1-∠2=80°+α．理由如下：如图3，
∵∠1=∠C+∠3，
而∠3=∠2+α，
∴∠1=∠C+∠2+α，
∴∠1-∠2=80°+α；
（4）如图4，
∵∠1=α+∠3，∠2=∠C+∠4，
而∠3=∠4，
∴∠1-α=∠2-∠C，
∴∠2-∠1=∠C-α=80°-α．
故答案为130°；∠1+∠2=80°+α；∠1-∠2=80°+α；∠2-∠1=80°-α．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质．