Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点在第四象限，顶点到x轴的距离为3，抛物线与x轴交于原点O（0，0）及点A，且OA=4．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′，试判断点A′是否在该抛物线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意可知：抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣3，

由于抛物线经过原点，

即4a﹣3=0，

解得a= ．

故抛物线的解析式为y= （x﹣2）2﹣3

（2）解：设点A′坐标为（x，y），

则直线OA′的解析式为y=﹣x①，

根据旋转的性质可知：OA′=OA=4，

即x2+y2=16②，

由①②可得x=2 ，y=﹣2 ，

即点A′坐标为（2 ，﹣2 ），

把点A′坐标为（2 ，﹣2 ）代入解析式y= （x﹣2）2﹣3；

﹣2 ≠ （2 ﹣2）2﹣3，

即点A′不在该抛物线上

【解析】（1）首先求出抛物线的顶点坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，由于抛物线经过原点，进而求出a的值即可；（2）设点A′坐标为（x，y），先求出直线OA′的解析式，根据OA′=OA=4，求出点A′的坐标，进而判断点A′是否在该抛物线上．