Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，CA平分∠DCB，∠ADC=∠BAC=90°．

（1）求证：AC2=BCDC；
（2）若BC=5，DC=1，求线段AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CA平分∠DCB，

∴∠ACB=∠ACD，

∵∠ADC=∠BAC=90°，

∴△ABC∽△DAC，

，

∴AC2=BCDC

（2）解：由（1）知，AC2=BCDC，

∵BC=5，DC=1，

∴AC2=5×1=5，

∵∠ADC=90°，

AD= = =2

【解析】（1）由CA平分∠DCB，可推得∠ACB=∠ACD，又由于∠ADC=∠BAC，可证得△ABC∽△DAC，根据相似三角形的性质即可推出结论；（2）由（1）可推出AC2=5×1=5，根据勾股定理可求AD．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．