【题目】如图,在四边形ABCD中,CA平分∠DCB,∠ADC=∠BAC=90°.
(1)求证:AC2=BCDC;
(2)若BC=5,DC=1,求线段AD的长.
【答案】
(1)证明:∵CA平分∠DCB,
∴∠ACB=∠ACD,
∵∠ADC=∠BAC=90°,
∴△ABC∽△DAC,
,
∴AC2=BCDC
(2)解:由(1)知,AC2=BCDC,
∵BC=5,DC=1,
∴AC2=5×1=5,
∵∠ADC=90°,
AD= =
=2
【解析】(1)由CA平分∠DCB,可推得∠ACB=∠ACD,又由于∠ADC=∠BAC,可证得△ABC∽△DAC,根据相似三角形的性质即可推出结论;(2)由(1)可推出AC2=5×1=5,根据勾股定理可求AD.
【考点精析】认真审题,首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方).
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【题目】某地生产一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为1 000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4 500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7 500元.
当地一家蔬菜公司收获这种蔬菜140吨,该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨;如果进行精加工,每天可加工6吨,但两种加工方式不能同时进行,受季节等条件限制,公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司制订了三种方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,没有来得及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售;
方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好15天完成.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
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【题目】如图,已知抛物线的顶点在第四象限,顶点到x轴的距离为3,抛物线与x轴交于原点O(0,0)及点A,且OA=4.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若线段OA绕点O顺时针旋转45°到OA′,试判断点A′是否在该抛物线上,并说明理由.
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【题目】如图,⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线与直径CD的延长线交于点E,已知AE=AC.
(1)求∠B的度数;
(2)若ED=1,求AE的长.
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【题目】如图,二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.
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