Question

1．已知在平面直角坐标系中，点P（4，-2）是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上的一个点，此双曲线与直线y=-2x交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在x轴的负半轴上找一点，使点A、B、C构成以AB为斜边的直角三角形，并求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）先把点P（4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）得到k=-8，从而确定双曲线的解析式，然后联立方程，解方程即可求得A、B的坐标；
（2）根据勾股定理求得OA=OB=2$\sqrt{5}$，因为在x轴的负半轴上找一点C，使点A、B、C构成以AB为斜边的直角三角形，则C点是以AB为直径的圆与x轴的负半轴的交点，所以OC=OA=OB=2$\sqrt{5}$，最后根据S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC即可求得．

解答 解：（1）把P（4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=-2×4=-8，
所以双曲线的解析式为y=-$\frac{8}{x}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=-2x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
所以A、B两点的坐标为（2，-4）和（-2，4）；
（2）∵A、B两点的坐标为（2，-4）和（-2，4），
∴OA=OB=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
在x轴的负半轴上找一点C，使点A、B、C构成以AB为斜边的直角三角形，则C点是以AB为直径的圆与x轴的负半轴的交点，如图，
∴OC=OA=OB=2$\sqrt{5}$，
∴S_△ABC=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×4=8$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了勾股定理和三角形的面积．