Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣1经过点A(﹣2，1)和点B(﹣1，﹣1)，抛物线C2：y＝2x2+x+1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．

（1）求抛物线C1的表达式；

（2）直接用含t的代数式表达线段MN的长；

（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣1；（2）MN＝t2+2；（3）t＝0或1

【解析】

（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）点M、N的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t-1），即可求解；
（3）分∠ANM=90°、∠AMN=90°两种情况，分别求解即可．

解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

故抛物线C1的表达式为：y＝x2+x﹣1；

（2）点M、N的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t﹣1），

则MN＝（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）＝t2+2；

（3）①当∠ANM＝90°时，AN＝MN，

AN＝t﹣（﹣2）＝t+2，MN＝t2+2，

t＝t2+2，解得：t＝0或1（舍去0），故t＝1；

②当∠AMN＝90°时，AM＝MN，

AM＝t+2＝MN＝t2+2，

解得：t＝0或1（舍去1），故t＝1；

综上，t＝0或1．