Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x轴于点A，抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣x+1交于点C（4，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．

（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+1；（2）（3）（， ）或（﹣， ）

【解析】分析：(1)根据点B，C的坐标，作待定系数法求抛物线的解析式；(2)画出当点E在x轴上时的图形，点E运动到点A的位置，即可求出ME的长，解直角△DEM，求得DE，DM；(3)设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x＋1，由△A1O1B1中点的位置关系，分两种情况讨论，分别画出图形，根据两个点在抛物线上的位置列方程求解.

详解：(1)∵直线y＝﹣x＋1交y轴于点B，∴B(0，1)，

∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B和点C(4，﹣2)．

∴，解得，

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋x＋1；

(2)如图1，∵直线y＝x＋1交x轴于点A，

当y＝0时， x＋1＝0，解得x＝，∴A(，0)，∴OA＝，

在Rt△AOB中，∵OB＝1，∴AB＝，

∴sin∠ABO＝，cos∠ABO＝，

∵ME∥x轴，∴∠DEM＝∠ABO，

∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，∴∠EDM＝90°，

∴DE＝MEcos∠DEM＝ME，DM＝MEsin∠DEM＝ME，

当点E在x轴上时，E和A重合，则m＝OA＝，

当x＝时，y＝，∴ME＝，

∴DE＝，DM＝，

∴△DEM的周长＝DE＋DM＋ME＝；

(3)由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x＋1，

∵O1A1⊥x轴，∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：

①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，

点O1，B1的纵坐标相等，

∴，解得：x＝，

此时点A1的坐标为(， )，

②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，

点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，

，

解得：x＝，

此时A1(， )，

综上所述，点A1(， )或(， )．