Question

2．阅读下面材料：某同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，过点B作BE⊥AD交AD延长线于点E，当BC=2AE时，图1中是否存在与AD相等的线段？若存在，请找出并说明理由，若不存在，说明理由．该同学通过探究发现，过点A作BC的垂线AF，垂足为F，能得到一对全等三角形（如图2），从而将问题解决．

请回答：
（1）该同学发现的与AD相等的线段是BD；
（2）证明该同学所发现的结论；
参考该同学思考问题的方法，解决下面的问题：
（3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在BC上，点E是△ABC外一点，且AE=AD，∠DAE=45°，点F是BC中点，G在AB上，连接EF、DG．∠EFC+∠AGD=90°，求$\frac{AG}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接得出结论，
（2）先判断出BF=AF进而得出Rt△ABF≌Rt△BAE，得出∠BAE=∠ABF，即BD=AD；
（3）先判断出，∠AFE=∠AGD进而得出∠GAD=∠FAE，即可△AGD≌△AFE（AAS），得出AG=AF，最后代换即可．

解答 解：（1）故答案为BD，
（2）∵△ABC是等腰三角形，AF⊥BC，
∴BC=2BF，
∵BC=2AE，
∴BF=AE，
在Rt△ABF和Rt△BAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{BF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△BAE（HL），
∴∠BAE=∠ABF，
∴BD=AD，
（3）$\frac{AG}{BC}=\frac{1}{2}$，
理由：如图3，连接AF，

∴AF⊥BC，
∴∠EFC+∠AFE=90°，
∵∠EFC+∠AGD=90°，
∴∠AFE=∠AGD，
∵AF⊥BC，
∴∠BAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，
即：∠GAD=∠FAE，
在△AGD和△AFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠AGD}\\{∠GAD=∠FAE}\\{AE=AD}\end{array}\right.$，
∴△AGD≌△AFE（AAS），
∴AG=AF，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴AG=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{AG}{BC}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{BC}$=$\frac{1}{2}$．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，同角的余角相等，直角三角形的性质，解本题的关键是∠GAD=∠FAE，是一道比较简单的中考常考题．