Question

16．如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y₁=x²与y₂=$\frac{{x}^{2}}{2}$的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y₁的图象于点D，直线DE∥AC，交y₂的图象于点E，则$\frac{DE}{AB}$=2-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y₁的解析式求出D点的坐标，然后利用y₂求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．

解答 解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则B、C点的纵坐标为a，
∴y₁=x²=a，y₂=$\frac{{x}^{2}}{2}$=a解得x_B=$\sqrt{a}$，x_C=$\sqrt{2a}$，
∴点B（$\sqrt{a}$，a），点C（$\sqrt{2a}$，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为$\sqrt{2a}$，
代入y₁=x²得，y₁=（$\sqrt{2a}$）²=2a，
∴点D的坐标为（$\sqrt{2a}$，2a），
∵DE∥AC，
∴点E的纵坐标为2a，
代入y₂=$\frac{{x}^{2}}{2}$得，2a=$\frac{{x}^{2}}{2}$
∴x=2$\sqrt{a}$，
∴点E的坐标为（2$\sqrt{a}$，2a），
∴DE=2$\sqrt{a}$-$\sqrt{2a}$，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{2\sqrt{a}-\sqrt{2a}}{\sqrt{a}}$=2-$\sqrt{2}$．
故答案为：2-$\sqrt{2}$．

点评 本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．