Question

20．如图，AB为半圆O的直径，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆O于点D，点E是$\widehat{BD}$的中点，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P．求证：
（1）四边形PAED是平行四边形；
（2）PD是半圆O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据CO与DO的数量关系，即可得出∠CDO的度数，进而求出∠AOD=60°，∠BOD=120°，∠AED=30°，点E是$\widehat{BD}$的中点，进而求出∠EAB=30°，即∠BAE=∠AED，得出ED∥AP，即可证得结论；
（2）利用点E是$\widehat{BD}$的中点，进而求出∠EAB=30°，即可得出∠AFO=90°，即可得出答案．

解答 （1）解：连接OD、OE，
∵AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，
∴2CO=DO，∠DCO=90°，
∴∠CDO=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠BOD=120°，∠AED=30°，
∵点E是$\widehat{BD}$的中点，
∴∠BOE=60°，
∴∠BAE=30°，
∴∠BAE=∠AED，
∴ED∥AP，
∵DP∥AE，
∴四边形PAED是平行四边形；

（2）证明：如图，∵点E是$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∵由（1）得∠AOD=60°，
∴∠DOB=120°，
∴∠BOE=60°，
∴∠EAB=30°，
∴∠AFO=90°，
∵DP∥AE，
∴PD⊥OD，
∴直线PD为⊙O的切线．

点评 此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理和切线的判定定理等知识，根据已知得出∠AFO=90°是解题关键．