Question

14．为美化市容，某广场要在人行甬道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．（1）由于选用图案的不同，使用的两种广场砖的块数也不同，请你认真观察思考后，填写下表：

图案序号n	1	2	3	…	n
使用的灰砖块数	1	4		…
使用的白砖块数	8			…

（2）求出白砖数恰好比灰砖数少1时的n值；
（3）是否存在白砖数恰好等于灰砖数的n值，说明你的理由；
（4）若每块白砖售价为2元，每块灰砖售价为3元，每块砖的施工费用为0.5元，铺设一个图案的费用为y元，请求出y与n的函数关系式（不要求写自变量n的取值范围）．

Answer 1

分析 （1）根据图形分别得出各个图形中白色瓷砖的个数分别为8、12、16、20…，即：12-8=4、16-12=4、20-16=4，由此可得出规律：每一个图案均比前一个图案多4块白色瓷砖，所以第n个图案中，白色瓷砖的个数为8+4（n-1），灰色瓷砖的块数等于n²；
（2）根据白砖数恰好比灰砖数少1列出方程求解即可；
（3）根据白砖数恰好等于灰砖数列出方程，有整数解则存在，否则就不存在；
（4）根据总费用=白砖费用+灰砖费用+施工费用列函数表达式即可．

解答 解：（1）填表如下：

图案序号n	1	2	3	…	n
使用的灰砖块数	1	4	9	…	n2
使用的白砖块数	8	12	16	…	4n+4

（2）根据题意得：n²-（4n+4）=1，
解得：n=-1（舍去）或n=5；
（3）根据题意得：n²=4n+4
解得：n=2±2$\sqrt{2}$．
故不存在；
（4）y=2n²+3（4n+4）+0.5（n²+4n+4）=$\frac{7}{2}$n²+10n+10．

点评 本题主要考查根据图中图形的变化情况，通过归纳与总结得出变化规律的能力，关键在于将图形数字化，即将图形转化为各个图形中白色瓷砖的变化规律，这样可方便求解．