Question

15．按要求解方程
（1）$2{（{x+1}）^2}-\frac{9}{2}=0$（直接开平方法）
（2）4x-1=2x²（配方法）
（3）${x^2}-4\sqrt{3}x+10=0$（公式法）
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
    ①4x（2x+1）=3（2x+1）
    ②（x+1）²=（2x-1）²
    ③x²-2x-3=0
（5）换元法
    ①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0
    ②${x^2}+\frac{1}{x^2}-2（{x+\frac{1}{x}}）-1=0$．

Answer 1

分析 （1）先移项，变成（x+1）²=$\frac{9}{4}$，然后直接开平方．
（2）把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
（3）找出方程中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出根的判别式，由根的判别式大于0，得到方程有解，将a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解．
（4）①先移项，然后通过提取公因式（3x-2）进行因式分解；
②先移项，然后通过平方差进行因式分解；
③通过十字相乘进行因式分解；
（5）①先设y=2x+1，则原方程变形为y²-3y-28=0，运用因式分解法解得y₁=7，y₂=-4，再把y=7和-4分别代入y=2x+1得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
②先设y=x+$\frac{1}{x}$，则原方程变形为y²-2y-3=0，运用因式分解法解得y₁=3，y₂=-1，再把y=3和-1分别代入y=x+$\frac{1}{x}$得到关于x的分式方程，然后求得x的值，最后进行检验即可．

解答 解：（1）$2{（{x+1}）^2}-\frac{9}{2}=0$（直接开平方法），
（x+1）²=$\frac{9}{4}$，
∴x+1=±$\frac{3}{2}$，
∴x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=-$\frac{5}{2}$；
（2）4x-1=2x²（配方法）
2x²-4x=-1，
∴x²-2x=-$\frac{1}{2}$，
∴x²-2x+1=-$\frac{1}{2}$+1，
∴（x-1）²=$\frac{1}{2}$，
∴x-1=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴x₁=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x₂=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）${x^2}-4\sqrt{3}x+10=0$（公式法）
这里a=1，b=-4$\sqrt{3}$，c=10，
∵b²-4ac=（-4$\sqrt{3}$）²-4×1×10=48-40=8＞0，
∴x=$\frac{-{b}^{\;}±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{4\sqrt{3}±\sqrt{8}}{2}$=2$\sqrt{3}$±$\sqrt{2}$，
则x₁=2$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$，x₂=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（4）分解因式法（提公因式；平方差、完全平方公式；十字相乘）
①4x（2x+1）=3（2x+1）
4x（2x+1）-3（2x+1）=0，
（2x+1）（4x-3）=0
∴2x+1=0，4x-3=0，
∴x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{3}{4}$；
②（x+1）²=（2x-1）²
（x+1）²-（2x-1）²=0
（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）=0，
∴3x=0，2-x=0，
∴x₁=0，x₂=2；
③x²-2x-3=0
（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0，x+1=0，
∴x₁=3，x₂=-1；
（5）换元法
①（2x+1）²-3（2x+1）-28=0，
设y=2x+1，
原方程变形为y²-3y-28=0，
（y-7）（y+4）=0，
解得y₁=7，y₂=-4，
当y=7时，2x+1=7，解得x=3；
当y=-4时，2x+1=-4，解得x=-$\frac{5}{2}$，
所以原方程的解为x₁=3，x₂=-$\frac{5}{2}$．
②${x^2}+\frac{1}{x^2}-2（{x+\frac{1}{x}}）-1=0$．
y=x+$\frac{1}{x}$，则原方程化为y²-2y-3=0，
解得：y₁=3，y₂=-1．
当y=3时，x+$\frac{1}{x}$=3，
整理，得x²-3x+1=0
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
当y=-1时，x+$\frac{1}{x}$=-1
整理，得x²+x+1=0，△=1-4×1＜0，此方程无实数解；
经检验，x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$是原方程的解．
∴原方程的解为x₁=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、因式分解法、配方法、换元法是解题的关键．