Question

【题目】在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．

（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；

（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析.

【解析】

（1）取AB的中点N，连接EN，可证明△ANE≌△ECM，可证得AE＝EM；

（2）在AB上取点H，使BH＝BE，根据等边三角形的证明△AHE≌△ECM即可求解.

（1）证明：取AB的中点N，连接EN，

∵△ABC为等边三角形，E，N为中点，

∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，

∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，∴∠ANE＝120°，

∵∠AEM＝60°，∴∠MEC＝30°，∴∠NAE＝∠CEM，

∵CM平分∠ACG，∴∠ACM＝60°，∴∠ECM＝∠ANE＝120°，

在△ANE和△ECM中，，∴△ANE≌△ECM（ASA），

∴AE＝EM；

（2）在AB上取点H，使BH＝BE，

∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝60°．

∵BH＝BE，∴AH＝CE．

∴△BHE是等边三角形，∴∠BHE＝60°．∴∠AHE＝120°．

∵∠ECM＝120°．∴∠AHE＝∠ECM．

∵∠AEM+∠MEC=∠ABC+∠EAH，∴∠EAH=∠MEC

在△AHE和△ECM中，∴△AHE≌△ECM（ASA）．

∴AE＝EM．