Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，

（1）求证：△CBE≌△CPE；

（2）求证：四边形AECF为平行四边形；

（3）若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由折叠的性质可知：EP＝EB，CP＝CE，根据SSS证明三角形全等即可；

（2）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB＝PE，利用一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；

（3）过P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，根据BP＝2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，根据AF﹣AP求出PF的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC＝AE＝3，求出三角形CPF面积即可．

（1）解：由折叠可知，EP＝EB，CP＝CB，

∵EC＝EC，

∴△ECP≌△ECB（SSS）．

（2）证明：由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，

∵E为AB的中点，

∴AE＝EB＝PE，

∴AP⊥BP，

∴AF∥EC，

∵AE∥FC，

∴四边形AECF为平行四边形；

（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，

在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4，

根据勾股定理得：

，

，

由折叠得：BP＝2BQ＝，

在Rt△ABP中，AB＝6，BP＝，

根据勾股定理得： ,

∵四边形AECF为平行四边形，

∴AF＝EC＝5，FC＝AE＝3，

∴PF＝5﹣＝，

∵PM∥AD，

∴△FPM∽△FAD

，即

解得：PM＝，

则S△PFC＝FCPM＝×3×＝．