Question

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图（1），若∠BAC=∠ACD，∠AOB=70°，AP、DP分别平分∠BAC、∠BDC，求∠APD的度数；
（2）如图（2），∠BAC=∠ACD，∠AOB=70°，DQ平分∠BDE，直线AQ平分∠BAC，求∠AQD的度数．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）由条件可知AB∥CD，过P作PF∥AB，交AC、BD分别于点M、N，在△OMN中，由外角与平行的性质可求出∠APD的度数；
（2）方法类似（1）．

解答：解：（1）如图（1），过P作PF∥AB，交AC、BD分别于点M、N，

∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠FPA=∠BAP，∠FPD=∠PDC，
∵AP、DP分别是角平分线，
∴∠FPA=∠PAC，∠FPD=∠FPD，
∴∠OMN=2∠FPA，∠ONM=2∠FPD，
∵∠AOB=70°，
∴∠OMN+∠ONM=2∠FPA+2∠FPD=180°-70°=110°，
∴∠FPA+∠FPD=180°-70°=55°，
即∠APD=55°；

（2）如图（2），过Q作LJ∥AB，交AC于点R，交BD于点S，

∵∠BAC=∠ACD，
∴AB∥CD，
∴LJ∥CD，
∴∠LQA=∠BAQ，∠EDQ=∠DQJ，∠EDQ+∠LQD=180°，
∵AQ、DQ分别是角平分线，
∴∠BAQ=∠RAQ，∠SDQ=∠EDQ，
∴∠ORQ=2∠LQA，∠DSJ=2∠SQO，
∵∠DSJ=∠ORQ+∠AOB，
∴2∠SQD=2∠LQA+70°，
∴∠SQD-∠LQA=35°，
又∠AQD=∠LQA+LQD=∠LQA+180°-∠EDQ=180°-（∠DQE-∠LQA）=180°-35°=145°．

点评：本题主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，过点P和Q作平行线是解题的关键．