Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，连BG、CE、EG．
（1）探究CE与BG的关系；
（2）探究△ABC与△AEG面积是否仍然相等．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的性质得出AG=AC，AB=AE，∠GAC=∠EAB=90°，求出∠GAB=∠CAE，推出△GAB≌△CAE即可；
（2）过E作EM⊥GA于M，根据正方形性质得出AE=AB，∠FCA=∠ACB=∠EAB=∠GAC=∠MAC=90°，求出∠EAM=∠CAB，证△AEM≌△ABC，推出BC=EM，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（1）CE=BG，
理由是：∵四边形ABDE、ACFG是正方形，
∴AG=AC，AB=AE，∠GAC=∠EAB=90°，
∴∠GAC+∠CAB=∠EAB+∠CAB，
∴∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，

GA=AC ∠GAB=∠CAE AB=AE

∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴CE=BG；

（2）△ABC与△AEG面积相等，
理由是：过E作EM⊥GA于M，
∵正方形AGFC和正方形ABDE，
∴AE=AB，∠FCA=∠ACB=∠EAB=∠GAC=∠MAC=90°，
∴∠EAM=∠CAB=90°-∠BAM，
在△AEM和△ABC中，

∠EAM=∠CAB ∠M=∠ACB=90° AE=AB

，
∴△AEM≌△ABC（AAS），
∴BC=EM，
∵S_△ABC=

1

2

×AC×BC，S_△AEG=

1

2

×AG×EM，
∴S_△ABC=S_△AEG，
即△ABC与△AEG面积相等．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等，解答（2）本题的关键是作出辅助线，难度较大．