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【题目】已知:如图,在△OAB中,OA=OB,⊙O经过AB的中点C,与OB交于点D,且与BO的延长线交于点E,连接ECCD

(1)试判断ABO的位置关系,并加以证明;

(2)若tanE=,⊙O的半径为3,求OA的长.

【答案】(1)AB与⊙O的位置关系是相切,证明见解析;(2)OA=5.

【解析】

(1)先判断AB与⊙O的位置关系,然后根据等腰三角形的性质即可解答本题;

(2)根据题三角形的相似可以求得BD的长,从而可以得到OA的长.

解:(1)AB与⊙O的位置关系是相切,

证明:如图,连接OC.

OA=OB,CAB的中点,

OCAB.

AB是⊙O的切线;

(2)ED是直径,

∴∠ECD=90°.

∴∠E+ODC=90°.

又∵∠BCD+OCD=90°,OCD=ODC,

∴∠BCD=E.

又∵∠CBD=EBC,

∴△BCD∽△BEC.

.

BC2=BDBE.

BD=x,则BC=2x.

BC2=BDBE,

(2x)2=x(x+6).

解得x1=0,x2=2.

BD=x>0,

BD=2.

OA=OB=BD+OD=2+3=5.

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