Question

3．如图1，直角梯形ABCD中，BC=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，点P为边AD上一点，BC=PB．
（1）求证：∠CBP=2∠DCP；
（2）如图2，若∠ABP的平分线交CP的延长线于点E，连接DE，求证：BE+DE=$\sqrt{2}$CE；
（3）在（2）的条件下，若AB=1，BC=2，请直接写出线段CE的长为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）取CP的中点F，连接BF，根据等腰三角形三线合一的性质得出∠CBF=∠PBF=$\frac{1}{2}$∠CBP，BF⊥PC，根据同角的余角相等得出∠DCP=∠CBF，即可中点结论；
（2）过得C作CG⊥CE交EB的延长线于点G，连接BD，由BC=CD，∠BCD=90°，易证∠CBD=45°，由∠EBF=45°，证得△CEG是等腰直角三角形，得出EG=$\sqrt{2}$CE，CG=CE，然后根据SAS证得△CBD≌△CDE，得出BG=DE，即可证得DE+BE=$\sqrt{2}$CE；
（3）取CD的中点M，连接MF，设MF的延长线交直线AB与B′，通过证得四边形AB′MD是平行四边形，得出AB′=DM=1=AB，证得B′与B重合，即B、F、M在一条直线上，然后证得△BFC∽△BCM，对应边成比例得出EF=BF=2CF，进一步得出CF=PF=PE，CE=3CF，根据三角形面积得出CF的值，即可求得CE的值．

解答 解：（1）取CP的中点F，连接BF，如图1，
∵BC=BP，BF是底边上的中点，
∴∠CBF=∠PBF=$\frac{1}{2}$∠CBP，BF⊥PC，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠BCF+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠CBF，
∴∠CBP=2∠DCP；
（2）过得C作CG⊥CE交EB的延长线于点G，连接BD，如图2，
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
∵∠EBF=∠EBP+∠PBF=$\frac{1}{2}$∠ABP+$\frac{1}{2}$∠CBP=45°，
∴∠BEF=180°-∠EBF-∠BFE=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=$\sqrt{2}$CE，CG=CE，
∵∠ECG=90°=∠BCD，
∴∠BCG=∠DCE，
在△CBD和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CE}\\{∠BCG=∠DCE}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△CDE（SAS），
∴BG=DE，
∴DE+BE=BG+BE=EG=$\sqrt{2}$CE；
（3）CE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，理由如下；
取CD的中点M，连接MF，设MF的延长线交直线AB与B′，如图2，
∵F是PC的中点，
∴FM∥AD，
∵AB∥CD，
∴四边形AB′MD是平行四边形，
∴AB′=DM=1=AB，
∴B′与B重合，即B、F、M在一条直线上，
∴BM⊥CE，
∵∠CBF=∠MBC，
∴△BFC∽△BCM，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CF}{CM}$，即$\frac{BF}{2}$=$\frac{CF}{1}$，
∴BF=2CF，
∵∠BEF=45°，∠BFE=90°，
∴EF=BF=2CF，
∵CF=PF，
∴CF=PF=PE，CE=3CF，
∵S_△BCM=$\frac{1}{2}$CF•BM=$\frac{1}{2}$BC•CM，
∴CF=$\frac{BC•CM}{BM}$=$\frac{2×1}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CE=3CF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

点评 本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质．三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及三角形面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键．