Question

5．如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使点B与点E重合，EC与AD交于点F，连结ED．
（1）求证：ED∥AC；
（2）若AB=3，BC=4，求四边形ACDE的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明ED∥AC，只要证明∠DAC=∠EDF即可．
（2）设AF的长为x，在RT△DFC中利用勾股定理求出x得AF：DF=25：7，利用$\frac{{{S_{△EDC}}}}{{{S_{△AEC}}}}=\frac{ED}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{7}{25}$求出△EDC的面积即可．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
∵将矩形沿AC折叠后，点B与点E重合，∴EC=BC，∠ACB=∠ACE
∴AD=EC，∠DAC=∠ACE，∴AF=FC，∴AD-AF=EC-FC，即EF=DF
∴∠DEF=∠EDF
又∵∠DAC+∠ACE+∠AFC=180°，∠DEF+∠EDF+∠DFE=180°，∠AFC=∠DFE
∴∠DAC=∠EDF
∴ED∥AC．
（2）解：在矩形ABCD中，∠B=90°，又∵AB=3，BC=4，∴S_△ABC=6，且AC=5，
设AF的长为x，FD=4-x，FD=x，CD=3，∠CDF=90°，由勾股定理得（4-x）²=x²+9，
解得$x=\frac{25}{8}$，∴FD=$\frac{7}{8}$，∴AF：FD=25：7
∵△ABC折叠为△AEC，∴S_△AEC=6，∵ED∥AC，∴△EDC与△AEC等高，
∴$\frac{{{S_{△EDC}}}}{{{S_{△AEC}}}}=\frac{ED}{AC}=\frac{DF}{AF}=\frac{7}{25}$，∴${S_{△EDC}}=\frac{42}{25}$，∴${S_{四边形ACDE}}=6+\frac{42}{25}=\frac{192}{25}$．

点评 本题考查翻折变换、勾股定理、平行线的判定定理等知识，解题的关键是利用平行线间的距离相等，得△AEC与△EDC的面积比等于AC：ED=AF：DF，属于中考常考题型．