Question

已知：如图，?ABCD中，E是AD中点，BE交AC于点F，设

BA

=

a

、

BC

=

b

．
（1）用

a

，

b

的线性组合表示

FA

；
（2）先化简，再直接在图中求作该向量：（-

1

2

a

+

b

）-（

a

+

1

4

b

）+（

5

2

a

+

1

4

b

）．

Answer 1

考点：*平面向量

专题：

分析：（1）利用三角形法则，可求得

CA

，易证得△AEF∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得

AF

FC

=

AE

BC

=

1

2

，继而求得答案；
（2）首先利用平面向量的加减运算法则化简此题，然后利用三角形法则，求得答案．

解答：解：（1）∵

BA

=

a

，

BC

=

b

，
∴

CA

=

BA

-

BC

=

a

-

b

，
∵?ABCD中，E是AD中点，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴

AF

FC

=

AE

BC

=

1

2

，
∴

FA

=

1

3

CA

=

1

3

a

-

1

3

b

；

（2）（-

1

2

a

+

b

）-（

a

+

1

4

b

）+（

5

2

a

+

1

4

b

）=-

1

2

a

+

b

-

a

-

1

4

b

+

5

2

a

+

1

4

b

=

a

+

b

．
如图，∵

CD

=

BA

=

a

，

BC

=

b

，
∴

BD

=

BC

+

CD

=

a

+

b

．
∴

BD

即为所求．

点评：此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．