Question

8．如图①，直线y=-$\frac{1}{2}$x+2交x轴、y轴于点A、B，C为直线AB上第二象限内一点，且S_△COA=8，双曲线y=$\frac{k}{x}$经过C．
（1）求k的值；
（2）Q为双曲线上的一动点，联结OQ，过C作CM⊥OQ，CN⊥y轴于N，联结MN，如图②，当Q运动时，$\frac{MC+MO}{MN}$的值是否有变化？若不变，求其值，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先求出点A、B的坐标，再由三角形COA的面积求出点C纵坐标，代入直线解析式求出点C的横坐标，把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$，即可确定k的值；
（2）作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x轴于G；则四边形CGON是正方形，证明C、M、O、N四点共圆，证出MF=NF，再证明四边形EMFN是正方形，得出ME=MF，MN=$\sqrt{2}$MF，由Rt△CNE≌Rt△ONF，得出CE=OF，MC+MO=2MF，即可得出结论．

解答 解：（1）对于直线y=-$\frac{1}{2}$x+2，当y=0时，x=4；当x=0时，y=2；
∴A（4，0），B（0，2），
设C（a，b），
∵S_△COA=$\frac{1}{2}$×4×b=8，
∴b=4，
把C（a，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+2得：a=-4，
∴C（-4，4），
把C（-4，4）代入y=$\frac{k}{x}$得：
k=-16，；
（2）$\frac{MC+MO}{MN}$=$\sqrt{2}$，没有变化；理由如下：
如图所示：作NE⊥MC于E，作NF⊥OM于F，作CG⊥x轴于G；
则四边形CGON是正方形，∠CMF=∠MFN=∠NEM=90°，
∴四边形EMFN是矩形，CG=OG=ON=CN=4，∠OCN=∠CON=45°，
∵CM⊥OQ，CN⊥y轴，
∴∠CMO=∠CNO=90°，
∴C、M、O、N四点共圆，
∴∠OMN=∠OCN=45°，∠CMN=∠NOC=45°，
∴MF=NF，
∴四边形EMFN是正方形，
∴ME=MF=FN=EN，MN=$\sqrt{2}$MF，
在Rt△CNE和Rt△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CN=ON}\\{EN=FN}\end{array}\right.$，
∴Rt△CNE≌Rt△ONF（HL），
∴CE=OF，
∴MC+MO=MC+MF+OF=2MF，
∴$\frac{MC+MO}{MN}$=$\frac{2MF}{\sqrt{2}MF}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题是反比例函数综合题，考查了图形与坐标特征、反比例函数解析式的求法、正方形的判定与性质、四点共圆以及三角形全等的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要通过作辅助线证明正方形和三角形全等才能得出结果．