Question

7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，动点F在BC的垂直平分线DG上，从D点出发以1cm/秒的速度移动，垂足为D，DG交AB于E，连接CE，设运动时间为t（s）．
（1）当t=6s时，求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）①在（1）的条件下，当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；
    ②当t=4s时，四边形ACDF是矩形．

Answer 1

分析 （1）当t=6s时，DF=6cm，根据DG是BC的垂直平分线，∠ACB=90°，可得DF∥AC，DE=$\frac{1}{2}AC$=2cm，再证明AC=EF即可得到四边形ACEF是平行四边形；
（2）①当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，首先证明∠ECA=60°，再证明△AEC是等边三角形，进而可得AC=EC，然后可根据一组邻边相等的平行四边形是菱形得到到结论；
②首先证明四边形ACDF是平行四边形，再由∠ACB=90°可得四边形ACDF是矩形．

解答 （1）证明：当t=6s时，DF=6cm，
∵DG是BC的垂直平分线，∠ACB=90°，
∴DF∥AC，DE=$\frac{1}{2}AC$=2cm，
∴EF=DF-DE=4cm，
∴AC=EF，
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）解：①当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；
∵DG是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴∠ECB=∠B=30°，
∴∠ECA=60°，
∵DF∥AC，DG是BC的垂直平分线，
∴AE=EB，
∴AE=EC，
∴△AEC是等边三角形，
∴EC=AC，
∴四边形ACEF是菱形，
故答案为：30；
②当t=4s时，四边形ACDF是矩形；
∵动点F从D点出发以1cm/秒的速度移动，
∴DF=4m，
∵AC=4m，DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形ACDF是矩形．
故答案为：4．

点评 此题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，关键是掌握特殊四边形的判定定理．