Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，AE=

1

3

AC，BD=

1

3

AB．求证：∠ADE=∠EBC．

Answer 1

分析：设AE=x，由于AB=AC，∠A=90°，AE=

1

3

AC，BD=

1

3

AB，那么AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，利用勾股定理可求DE、BE、BC，易求cos∠ADE，在△CBE中，利用余弦定理可求cos∠CBE，从而有cos∠ADE=cos∠CBE，即∠ADE=∠CBE．

解答：解：如右图所示，设AE=x，
∵AB=AC，∠A=90°，AE=

1

3

AC，BD=

1

3

AB，
∴AB=AC=3x，CE=AD=2x，BD=AE=x，
∴DE=

AE2+AD2

=

5

x，
BE=

AE2+AB2

=

10

x，
BC=

AC2+AB2

=3

2

x，
∴cos∠ADE=

AD

DE

=

2

5

5

，
在△CBE中，cos∠CBE=

BC2+BE2-CE2

2BC•BE

=

2

5

5

，
∴cos∠ADE=cos∠CBE，
∴∠ADE=∠CBE．

点评：本题考查了勾股定理、余弦定理．两个锐角的余弦相等，则这两个角相等．