Question

【题目】已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．

（1）求点C、D及点M的坐标；

（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；

（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；(2) ;(3) 过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

【解析】解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0），

=1.5，

∴点M的坐标是（1.5，0），

故答案为：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；

（2）如图，连接AM，则AM=2.5，

在Rt△AOM中，AO==2，

∴点A的坐标是（0，2），

∵PA与⊙M相切，

∴AM⊥PA，

∴∠MAO+∠PAO=90°，

又∵∠AMO+∠MAO，

∴∠AMO=∠PAO，

在△AOM与△POA中， ，

∴△AOM∽△POA，

∴,

即,

解得PA=；

（3）存在．

如图，连接AC、AD，

∴∠CAD=90°，

在△ACO与△DCA中， ，

∴△ACO∽△DCA，

∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似，

此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c，

则,

解得,

∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．