Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y=

3

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x，关于x的一元二次方程2x²-2（m+2）x+（2m+5）=0（m＞0）有两个相等的实数根．
（1）试求出m的值，并求出经过点A（0，-m）和D（m，0）的直线解析式；
（2）在线段AD上顺次取两点B、C，使AB=CD=

3

-1，试判断△OBC的形状；
（3）设直线l与直线AD交于点P，图中是否存在与△OAB相似的三角形？如果存在，请直接写出；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意得△=0得出m值，然后可求出点A，D的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+b，把已知坐标代入可求得解析式；
（2）作OE⊥AD于E，利用勾股定理求出AD，继而求出OE的长．然后根据三角函数证明△OBC为等边三角形；
（3）利用相似三角形的判定可知道存在与△OAB相似的三角形．

解答：解：（1）由题意得△=[-2（m+2）]²-4×2×（2m+5）=0，
∴m=±

6

，
∵m＞0，
∴m=

6

，
∴点A（0，-

6

）、D（

6

，0），
设经过A、D两点的直线解析式为y=kx+b，
则

b=- 6 0= 6 k+b

，
解得

k=1 b=- 6

，
∴y=x-

6

；

（2）作OE⊥AD于E，
由（1）得OA=OD=

6

，
∴AD=

OA2+OD2

=2

3

，
∴OE=AE=ED=

1

2

AD=

3

，
∵AB=CD=

3

-1，
∴BE=EC=1，
∴OB=OC，
在Rt△OBE中，tan∠OBE=

OE

BE

=

3

，
∴∠OBC=60°，
∴△OBC为等边三角形；

（3）存在，△ODC、△OPC、△PAO．

点评：本题考查的是相似三角形的判定定理，一次函数的综合运用，等边三角形的性质以及三角函数的有关知识．