Question

18．已知BE、BC为⊙O的弦，⊙O的直径BA平分∠EBC．
（1）如图1，求证：BE=BC
（2）如图2，连接AE，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F，求证：tan∠EBA=$\frac{CF}{AE}$；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长EA和BF交于点D，作∠BDE的平分线交AB于点H，交⊙O于点M，N，若BH=3AH，CF=$\frac{4}{3}$，求弦MN的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，连接AE、BC．只要证明Rt△ABE≌Rt△ABC，即可解决问题．
（2）如图2中，连接AC．首先证明∠ABE=∠CAF，即可推出tan∠ABE=tan∠CAF=$\frac{CF}{AC}$，由AC=AE，可得tan∠ABE=$\frac{CF}{AE}$．
（3）如图3中，连接AC、EM，DM与BE交于点T，作TK⊥BD于K，HP⊥BD于P，HQ⊥DE于Q．首先证明BD：AD=BH：AH=3：1，由△ACD∽△BED，推出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，设AD=x，则BD=3x，由BE=BC，AC=AE，推出BC：AC=3：1，由△ACF∽△BCA，推出$\frac{AC}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$=3，由CF=$\frac{4}{3}$，推出AC=AE=4，BC=BE=12，在Rt△BDE中，根据BE²+DE²=BD²，可得（x+4）²+12²=（3x）²，解得x=5或-4（舍弃），推出AD=5，BD=15，CD=3，易知DE=DK=9，BK=6，设TE=TK=m，在Rt△BTK中，（12-m）²=m²+6²，解得m=$\frac{9}{2}$，TC TE=$\frac{9}{2}$，TB=$\frac{15}{2}$，DT=$\sqrt{T{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{5}$，设TM=a，TN=b，想办法构建方程组即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接AE、BC．

∵∠ABE=∠ABC，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，
∴AE=AC，
∵AB是直径，
∴∠BEA=∠BCA=90°，
在Rt△ABE和Rt△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BA}\\{AE=AC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△ABC，
∴BE=BC．

（2）证明：如图2中，连接AC．

∵AF是⊙O切线，
∴∠BAF=90°，
∴∠CAF+∠BAC=90°，
∵△ABE≌△ABC，
∴∠BAE=∠BAC，
∵∠EBA+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠CAF，
∴tan∠ABE=tan∠CAF=$\frac{CF}{AC}$，
∵AC=AE，
∴tan∠ABE=$\frac{CF}{AE}$．

（3）解：如图3中，连接AC、EM，DM与BE交于点T，作TK⊥BD于K，HP⊥BD于P，HQ⊥DE于Q．

∵HD平分∠BDE，HP⊥DB，HQ⊥DE，
∴HP=HQ，
∴S_△BDH：S_△ADH=BH：AH=$\frac{1}{2}$•BD•HP：$\frac{1}{2}$•AD•HQ，
∴BD：AD=BH：AH=3：1，
∵∠ACD=∠DEB，∠ADC=∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，设AD=x，则BD=3x，
∵BE=BC，AC=AE，
∴BC：AC=3：1，
∵∠FAC=∠ABC，⊥ACF=∠ACB，
∴△ACF∽△BCA，
∴$\frac{AC}{CF}$=$\frac{BC}{AC}$=3，∵CF=$\frac{4}{3}$，
∴AC=AE=4，BC=BE=12，
在Rt△BDE中，∵BE²+DE²=BD²，
∴（x+4）²+12²=（3x）²，
解得x=5或-4（舍弃），
∴AD=5，BD=15，CD=3，易知DE=DK=9，BK=6，设TE=TK=m，
在Rt△BTK中，（12-x）²=x²+6²，
解得m=$\frac{9}{2}$，
∴TE=$\frac{9}{2}$，TB=$\frac{15}{2}$，DT=$\sqrt{T{K}^{2}+D{K}^{2}}$=$\frac{9}{2}$$\sqrt{5}$，设TM=a，TN=b，
∵TB•TE=TM•TN，
∴ab=$\frac{135}{4}$     ①，
由△ADN∽△MDE可得DA•DE=DN•DM，
∴（$\frac{9}{2}\sqrt{5}$-b）（$\frac{9}{2}$$\sqrt{5}$+a）=45  ②
由①②可得b-a=$\sqrt{5}$   ③
③平方+①×4可得（a+b）²=140，
∵a+b＞0，
∴a+b=2$\sqrt{35}$，
∴MN=a+b=2$\sqrt{35}$．

点评 本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、勾股定理，相交弦定理、割线定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程组，属于中考压轴题．