Question

【题目】已知和都是等腰直角三角形，，点是的中点，连接，．

（1）当点，分别在和上时，如图1，试猜想线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论（不要求证明）；

（2）将绕点逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于，小于或等于），如图2，请问：（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE=BF；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质，通过证明三角形全等即可得结论；
（2）根据旋转的性质得角相等，然后证明三角形全等即可得结论．

解：（1）AE=BF．

∵△ABC和△DEF是等腰三角形，D是BC的中点，

∴AD=BD=DC，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，DE=DF，

在△BDF与△ADE中，

，

∴△BDF≌△ADE（SAS）

∴AE=BF．

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图：连接AD，

∵△ABC和△DEF是等腰三角形，D是BC的中点，
∴AD=BD=DC，AD⊥BC，

∴∠ADC=∠ADB=90°，DE=DF，
根据旋转的性质，可知
∠CDE=∠ADF，
又∠BDF=90°∠ADF，∠ADE=90°∠CDE，
∴∠BDF=∠ADE
∴△BDF≌△ADE（SAS）
∴BF=AE．