Question

已知二次函数y=x²+（m+1）x-2m²-m．
（1）证明：无论m为何值，函数图象与x轴都有交点；
（2）当图象的对称轴为直线x=1时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）判断函数图象与x轴的交点情况，就要列出判别式，用配方法确定判别式大于0；
（2）已知对称轴，可以用对称轴的公式求出本题中的待定系数，确定函数解析式，再根据图象求面积．

解答：（1）证明：∵b²-4ac=（m+1）²-4（-2m²-m）=（3m+1）²≥0，
∴无论m取何值，函数图象与x轴都有交点；

（2）解：由对称轴x=1得：-

m+1

2

=1，
解得m=-3，
∴二次函数为y=x²-2x-15=（x-5）（x+3）．
∴与x轴的两交点是（0，5），（0，-3），与y轴的交点为（0，-15），
∴它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为：

1

2

×8×15=60．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解答此题的关键是根据对称轴的公式求待定系数，然后由图象解答求面积的问题，锻炼了学生数形结合的思想方法．