【题目】已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
(1)当b=2,c=﹣3时,求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当c=10时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(3)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
【答案】(1)顶点坐标为(-1,-4);(2)二次函数的解析式y=x2+6x+10,y=x2﹣6x+10;(3)二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16.
【解析】试题分析:(1)把b=2,c=﹣3代入函数解析式,通过变形为顶点式即可得顶点坐标;
(2)根据当c=10时,若在函数值y=l的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根,求此时二次函数的解析式;
(3)当c=b2时,写出解析式,分三种情况进行讨论即可.
试题解析:(1)当b=2,c=﹣3时,二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴顶点坐标为(-1,-4);
(2)当c=10时,二次函数的解析式为y=x2+bx+10,
由题意得,x2+bx+10=1有两个相等是实数根,
∴△=b2﹣36=0,
解得b1=6,b2=﹣6,
∴二次函数的解析式y=x2+6x+10,y=x2﹣6x+10;
(3)当c=b2时,二次函数解析式为y═x2+bx+b2,
图象开口向上,对称轴为直线x=﹣ ,
①当﹣<b,即b>0时,
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而增大,
∴当x=b时,y=b2+bb+b2=3b2为最小值,
∴3b2=21,解得b1=﹣ (舍去),b2=;
②当b≤﹣≤b+3时,即﹣2≤b≤0,
∴x=﹣,y=b2为最小值,
∴b2=21,解得b1=﹣2(舍去),b2=2(舍去);
③当﹣>b+3,即b<﹣2,
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而减小,
故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值,
∴3b2+9b+9=21.解得b1=1(舍去),b2=﹣4;
∴b=时,解析式为:y=x2+x+7
b=﹣4时,解析式为:y=x2﹣4x+16.
综上可得,此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16.
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【题目】学习完一次函数后,小荣遇到过这样的一个新颖的函数:y=|x﹣1|,小荣根据学校函数的经验,对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究.下面是小荣的探究过程,请补充完成:
(1)列表:下表是y与x的几组对应值,请补充完整.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | 4 | 2 | 1 | … |
(2)描点连线:在平面直角坐标系xOy中,请描出以上表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)进一步探究发现,该函数图象的最低点的坐标是(1,0),结合函数的图象,写出该函数的其他性质(一条即可): .
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【题目】一粒芝麻约有0.000002千克,0.000002用科学记数学法表示为( )千克.
A.2×10﹣4
B.0.2×10﹣5
C.2×10﹣7
D.2×10﹣6
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【题目】如图,一次函数y=﹣x+5的图象与反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象交于A(1,n)和B两点.
(1)求反比例函数的解析式与点B坐标;
(2)求△AOB的面积;
(3)在第一象限内,当一次函数y=﹣x+5的值小于反比例函数y= (k≠0)的值时,写出自变量x的取值范围.
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【题目】如图1所示,在A,B两地之间有汽车站C站,客车由A地驶往C站,货车由B地驶往A地.两车同时出发,匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1 , y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
(1)填空:A,B两地相距千米;
(2)求两小时后,货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式;
(3)客、货两车何时相遇?相遇处离C站的路程是多少千米?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,第一象限内长方形ABCD,AB∥y轴,点A(1,1),点C(a,b),满足 +|b﹣3|=0.
(1)求长方形ABCD的面积.
(2)如图2,长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度向右平移,同时点E从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动,设运动时间为t秒.
①当t=4时,直接写出三角形OAC的面积为 ;
②若AC∥ED,求t的值;
(3)在平面直角坐标系中,对于点P(x,y),我们把点P′(﹣y+1,x+1)叫做点P的伴随点,已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An.
①若点A1的坐标为(3,1),则点A3的坐标为 ,点A2014的坐标为 ;
②若点A1的坐标为(a,b),对于任意的正整数n,点An均在x轴上方,则a,b应满足的条件为 .
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