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【题目】已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).

(1)当b=2,c=﹣3时,求二次函数图象的顶点坐标;

(2)当c=10时,若在函数值y=1的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;

(3)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.

【答案】(1)顶点坐标为(-1,-4);(2)二次函数的解析式y=x2+6x+10,y=x2﹣6x+10;(3)二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16.

【解析】试题分析:(1)把b=2,c=﹣3代入函数解析式,通过变形为顶点式即可得顶点坐标;

(2)根据当c=10时,若在函数值y=l的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根,求此时二次函数的解析式;

(3)当c=b2时,写出解析式,分三种情况进行讨论即可.

试题解析:(1)当b=2,c=﹣3时,二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,

∴顶点坐标为(-1,-4);

(2)当c=10时,二次函数的解析式为y=x2+bx+10,

由题意得,x2+bx+10=1有两个相等是实数根,

∴△=b2﹣36=0,

解得b1=6,b2=﹣6,

∴二次函数的解析式y=x2+6x+10,y=x2﹣6x+10;

(3)当c=b2时,二次函数解析式为y═x2+bx+b2

图象开口向上,对称轴为直线x=﹣

①当﹣<b,即b>0时,

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而增大,

∴当x=b时,y=b2+bb+b2=3b2为最小值,

∴3b2=21,解得b1=﹣ (舍去),b2=

②当b≤﹣≤b+3时,即﹣2≤b≤0,

∴x=﹣,y=b2为最小值,

b2=21,解得b1=﹣2(舍去),b2=2(舍去);

③当﹣>b+3,即b<﹣2,

在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而减小,

故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值,

∴3b2+9b+9=21.解得b1=1(舍去),b2=﹣4;

∴b=时,解析式为:y=x2+x+7

b=﹣4时,解析式为:y=x2﹣4x+16.

综上可得,此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16.

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(1)列表:下表是y与x的几组对应值,请补充完整.

x

﹣3

﹣2

﹣1

0

1

2

3

y

4

2

1


(2)描点连线:在平面直角坐标系xOy中,请描出以上表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
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