Question

13．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，AF，DE相交于点G，连接CG，则tan∠DGC=2．

Answer 1

分析 根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠BAD=90°，再求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠BFA，再求出∠AGE=90°，从而得到AF⊥DE，取AD的中点H，连接CH，再判断出CH垂直平分DG，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=CG，根据等边对等角可得∠CGD=∠CDG，再求出∠CGD=∠AED，设正方形的边长为2a，求出AE，根据锐角的正切等于对边和邻边的比即可得出结果．

解答 解：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠BAD=90°，
∵E、F分别为AB、BC边的中点，
∴AE=BF，
在△ABF和△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠BAD}&{\;}\\{AE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AED=∠BFA，
∵∠BAF+∠AED=∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠AGE=90°，
∴AF⊥DE，
取AD的中点H，连接CH，
∵H是AD的中点，∴CH∥AF，
设CH与DG相交于点M，则MH是三角形ADG的中位线，
∴DM=GM，
∴CH垂直平分DG，
∴CD=CG，
∴∠CGD=∠CDG，
∵AB∥CD，
∴∠CGD=∠AED，
设正方形的边长为2a，则AE=a，
∴tan∠DGC=∠AED=$\frac{2a}{a}$=2；
故答案为：2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数的定义、线段垂直平分线的性质；熟记性质并作辅助线把∠DGC转化为∠AED是解题的关键．